Mostre quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de V :
W=(x, y, z) in R^3 ; x in Z, V=R^3.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=R^3 e o subconjunto
W = (x,y,z)inR^3 mid xinZ
Queremos verificar se W é subespaço de V. Para isso, usamos os critérios de subespaço:
  1. 0in W.
  2. Fechamento em soma: u,vin Wimplies u+vin W.
  3. Fechamento em produto escalar: alphainR,,uin Wimplies alpha uin W.

Passo 2

Verificação do vetor zero: o vetor zero de R^3 é
(0,0,0)
Como 0inZ, temos (0,0,0)in W. Logo, o primeiro critério está satisfeito.

Passo 3

Verificação de fechamento em soma: sejam
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)
em W. Então x1 e x2 são inteiros. Logo,
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
em que x1+x2inZ. Portanto u+vin W e o segundo critério também vale.

Passo 4

Verificação de fechamento em produto escalar: basta achar um contraexemplo. Seja
u=(1,0,0)in W
pois 1inZ. Tome o escalar alpha=tfrac12. Então
alpha u = l(tfrac12,0,0r),
porém tfrac12notinZ, ou seja alpha unotin W. Isso mostra que W não é fechado sob produto escalar.

Resposta

W não é subespaço vetorial de R^3.

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