Mostre quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
:
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e o subconjunto
Queremos verificar se
é subespaço de
. Para isso, usamos os critérios de subespaço:
-
. - Fechamento em soma:
. - Fechamento em produto escalar:
.
Passo 2
Verificação do vetor zero: o vetor zero de
é
Como
, temos
. Logo, o primeiro critério está satisfeito.
Passo 3
Verificação de fechamento em soma: sejam
em
. Então
e
são inteiros. Logo,
em que
. Portanto
e o segundo critério também vale.
Passo 4
Verificação de fechamento em produto escalar: basta achar um contraexemplo. Seja
pois
. Tome o escalar
. Então
porém
, ou seja
. Isso mostra que
não é fechado sob produto escalar.