Mostre quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de V :
W=(x, y, z) in R^3 ; x-3 z=0, V=R^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto
W = (x,y,z)inR^3 mid x-3z=0
é um subespaço vetorial de V=R^3. Para isso vamos usar o critério padrão de subespaço:
  1. O vetor nulo de R^3 está em W?
  2. W é fechado sob soma de vetores?
  3. W é fechado sob multiplicação por escalares?

Passo 2

Verificamos o vetor nulo (0,0,0). Substituindo em x-3z=0 temos
0 - 3cdot 0 = 0,
logo (0,0,0)in W.

Passo 3

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em W, ou seja
x1 - 3z1 = 0 e x2 - 3z2 = 0
Então
u + v = (x1 + x2,;y1 + y2,;z1 + z2)
Seu primeiro componente é
(x1 + x2) - 3(z1 + z2) = (x1 - 3z1) + (x2 - 3z2) = 0 + 0 = 0,
logo u+vin W.

Passo 4

Seja alphainR e u=(x,y,z)in W com x-3z=0. Então
alpha u = (alpha x,;alpha y,;alpha z)
e seu primeiro componente satisfaz
alpha x - 3(alpha z) = alpha,(x - 3z) = alphacdot 0 = 0,
logo alphauin W.

Resposta

O conjunto W satisfaz todas as condições de subespaço vetorial de R^3. Portanto, W é um subespaço vetorial de V=R^3.

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