Mostre que Gamma=(x, y) in R^2 ; x-2 y=0 é um subespaço de R^2. Exiba um vetor pertencente a Gamma.

Passo 1

O enunciado define Gamma = (x,y)inR^2 mid x-2y=0 e pede para mostrar que Gamma é um subespaço de R^2. Para isso, usamos a definição de subespaço:
  1. conter o vetor zero;
  2. ser fechado sob soma de vetores;
  3. ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor nulo está em Gamma. O vetor nulo em R^2 é (0,0). Como
0 - 2cdot 0 = 0,
segue que (0,0)inGamma, garantindo que Gamma não é vazio.

Passo 3

Verificamos o fechamento sob soma. Sejam (x1,y1) e (x2,y2)inGamma. Então x1 - 2y1 = 0 e x2 - 2y2 = 0. Logo,
(x1 + x2) - 2(y1 + y2) = (x1 - 2y1) + (x2 - 2y2) = 0 + 0 = 0
Assim (x1 + x2,,y1 + y2)inGamma.

Passo 4

Verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja (x,y)inGamma e lambdainR. Então x - 2y = 0. Para o vetor lambda(x,y) = (lambda x,,lambda y), temos
lambda x - 2(lambda y) = lambda,(x - 2y) = lambdacdot 0 = 0,
logo (lambda x,,lambda y)inGamma.

Resposta

Gamma é subespaço de R^2 e, por exemplo, (2,1)inGamma.

Exercícios relacionados