Mostre que
S=[lla & b 0 & a+b] in M2 times 2(R) rvert, a, b in R é subespaço vetorial de V=M2 times 2(R).

Passo 1

O enunciado define
S=a & b0 & a+bm|a,binR
e pede para mostrar que S é subespaço de V=M2times2(R).
Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço:
1. 0in S.
2. Se X,Yin S então X+Yin S.
3. Se Xin S e lambdainR então lambda Xin S.

Passo 2

Verificamos que a matriz nula pertence a S. Tomando a=0 e b=0, obtemos
M(0,0)=0&00&0,
que é exatamente a matriz zero de M2times2(R). Logo, 0in S.

Passo 3

Fechamento em relação `a adição. Sejam
X=a1 & b10 & a1+b1, Y=a2 & b20 & a2+b2
elementos de S. Então
X+Y =a1+a2 & b1+b2[6pt]0 & (a1+b1)+(a2+b2) =a3 & b30 & a3+b3,
once a3=a1+a2 e b3=b1+b2 s~ao reais. Portanto X+Yin S.]

Passo 4

Fechamento em rela\c{c}~ao `a multiplica\c{c}~ao por escalar. Seja
X=a & b0 & a+bin S
e lambdainR. Ent~ao
lambda X =lambda a & lambda b[6pt]0 & lambda(a+b) =a' & b'0 & a'+b',
once a'=lambda a e b'=lambda b. Logo lambda Xin S.]

Resposta

Concluímos que S contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar. Portanto, S é um subespaço vetorial de V=M2times2(R).

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