Verifique se os conjuntos a seguir são bases do espaço vetorial V.
B=(-1,0),(2,1) de V=R^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
B = (-1,0),,(2,1)
é uma base de V=R^2.
Para isso precisamos usar o fato de que em R^2 um conjunto com dois vetores é base se, e somente se, esses vetores forem linearmente independentes (pois então automaticamente geram todo R^2).

Passo 2

Como dim(R^2)=2 e lvert Brvert=2, basta mostrar que os vetores de B são linearmente independentes. Ou seja, precisamos ver que a única solução do sistema
a,(-1,0) + b,(2,1) = (0,0)
é a=b=0.

Passo 3

Escrevendo o sistema componente a componente, temos
-,a + 2,b = 0, 0cdot a + 1cdot b = 0
Da segunda equação vem ;b=0. Substituindo na primeira, -,a+2cdot0=0 implica ;a=0. Logo, a única combinação linear que dá o vetor nulo é com a=b=0, o que prova a independência linear.

Passo 4

Como (-1,0),(2,1) é um conjunto de 2 vetores independentes em R^2, ele também gera R^2. Portanto B é de fato uma base de R^2.

Resposta

Sim. B=(-1,0),(2,1) é uma base de R^2.

Exercícios relacionados