Mostre que
W=(cc 2 a & a+2 b 0 & a-b ): a, b in R
é subespaço vetorial de M2(R). Além disso,
(ii) (ll0 & 2 3 & 1) in W ?

Passo 1

O enunciado define
W = 2a & a+2b[6pt]0 & a-b:a,binR
Queremos mostrar que W é um subespaço vetorial de M2(R). Para isso basta verificar que (i) existe a matriz zero em W, (ii) W é fechado sob soma e (iii) sob multiplicação escalar. Em seguida, no item (ii) do enunciado, testamos a pertença da matriz 0&23&1 a W.]

Passo 2

Fechamento sob soma: seja
M(a,b)=2a & a+2b[3pt]0 & a-b e M(c,d)=2c & c+2d[3pt]0 & c-d
Então
M(a,b)+M(c,d) =2a+2c & (a+2b)+(c+2d)[3pt]0+0 & (a-b)+(c-d) =2(a+c) & (a+c)+2(b+d)[3pt]0 & (a+c)-(b+d)
Como a+c e b+d são reais, segue que M(a,b)+M(c,d)=M(a+c,b+d)in W.]

Passo 3

Fechamento sob multiplicação escalar: seja lambdainR. Então
lambda,M(a,b) =2lambda a & lambda(a+2b)[3pt]0 & lambda(a-b) =2(lambda a) & (lambda a)+2(lambda b)[3pt]0 & (lambda a)-(lambda b) =M(lambda a,lambda b)in W ]

Passo 4

Matriz zero: basta tomar a=b=0 em M(a,b) para obter
M(0,0)=0&00&0
Como W contém a zero, é fechado sob soma e escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de M2(R).

Passo 5

Para ver se 0&23&1in W, igualamos
2a & a+2b[3pt]0 & a-b =0 & 2[3pt]3 & 1
Da primeira entrada 2a=0 vem a=0. Da segunda a+2b=2 2b=2, logo b=1. Mas então a entrada (2,1) em M(a,b) seria 0, nunca 3. Há contradição, pois aquela posição em todo elemento de W vale sempre zero.]

Resposta

W é subespaço vetorial de M2(R).
(ii) 0&23&1notin W.

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