Seja V o espaço vetorial real de todas as funções de R em R. Quais dos seguintes conjuntos de funções são subespaços de V ?
(ii) de todas as funções f tais que f(0)=f(1).

Passo 1

O enunciado define V como o espaço vetorial real de todas as funções fcolon RtoR. Queremos testar se o conjunto
S = ,fin V mid f(0)=f(1)
é um subespaço de V. Para isso, vamos verificar se:
  1. A função zero pertence a S.
  2. S é fechado sob soma de funções.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a função zero 0colon xmapsto 0 satisfaz
0(0)=0=0(1),
logo 0in S.

Passo 3

Sejam f,gin S. Então
f(0)=f(1) e g(0)=g(1)
Logo, pela definição de soma de funções,
(f+g)(0)=f(0)+g(0)=f(1)+g(1)=(f+g)(1),
o que mostra f+gin S.

Passo 4

Seja fin S e cinR. Como f(0)=f(1), temos
(cf)(0)=ccdot f(0)=ccdot f(1)=(cf)(1),
portanto cfin S.

Resposta

O conjunto ,fmid f(0)=f(1) é de fato um subespaço de V.

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