Seja
o espaço vetorial real de todas as funções de
em
. Quais dos seguintes conjuntos de funções são subespaços de
?
(ii) de todas as funções
tais que
.
(ii) de todas as funções
Passo 1
O enunciado define
como o espaço vetorial real de todas as funções
. Queremos testar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos verificar se:
- A função zero pertence a
. -
é fechado sob soma de funções. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que a função zero
satisfaz
logo
.
Passo 3
Sejam
. Então
Logo, pela definição de soma de funções,
o que mostra
.
Passo 4
Seja
e
. Como
, temos
portanto
.
Resposta
O conjunto
é de fato um subespaço de
.