Mostre que S é subespaço vetorial do R^3, determine uma base, a dimensão e encontre o seu subespaço vetorial complementar.
S=(4 s,-3 s,-t): s, t in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o conjunto S = (4s, -3s, -t) : s, t in R é um subespaço vetorial de R^3 . Depois disso, precisamos encontrar uma base para S , determinar a dimensão desse subespaço e também descobrir qual é o subespaço vetorial complementar a S . Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços, bases, e dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se S realmente é um subespaço vetorial de R^3 . Para isso, precisamos checar três coisas:
  1. O vetor zero está em S .
  2. S é fechado sob adição.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 3

Vamos começar pelo vetor zero. Se escolhermos s = 0 e t = 0 , temos:
(4 cdot 0, -3 cdot 0, -0) = (0, 0, 0)
Então, o vetor zero está em S .

Passo 4

Agora, vamos ver se S é fechado sob adição. Pegamos dois vetores quaisquer em S :
(4s1, -3s1, -t1) e (4s2, -3s2, -t2)
Somando eles:
(4s1 + 4s2, -3s1 - 3s2, -t1 - t2) = (4(s1+s2), -3(s1+s2), -(t1+t2))
Como s1+s2 e t1+t2 são reais, o vetor resultante também está em S .

Passo 5

Por último, vamos verificar a multiplicação por escalar. Pegamos um vetor em S e um escalar k :
k cdot (4s, -3s, -t) = (4ks, -3ks, -kt)
Como ks e kt são reais, o vetor resultante também está em S .

Passo 6

Como todas as três condições são satisfeitas, concluímos que S é realmente um subespaço vetorial de R^3 .

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma base para S . Observe que qualquer vetor em S pode ser escrito como:
(4s, -3s, -t) = s(4, -3, 0) + t(0, 0, -1)
Então, os vetores (4, -3, 0) e (0, 0, -1) geram S e são linearmente independentes. Portanto, uma base de S é:
, (4, -3, 0),, (0, 0, -1) ,

Passo 8

A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como nossa base tem 2 vetores, a dimensão de S é 2.

Passo 9

Por fim, vamos encontrar o subespaço vetorial complementar a S em R^3 . Sabemos que a dimensão do complemento será 3 - 2 = 1 . Precisamos encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos os vetores da base de S .
Vamos considerar o vetor v = (a, b, c) tal que:
v cdot (4, -3, 0) = 0 e v cdot (0, 0, -1) = 0
Isso resulta nas equações:
4a - 3b = 0 e -c = 0
Da segunda equação, c = 0 . Da primeira, 4a = 3b , podemos escolher a = 3 e b = 4 , por exemplo. Assim, um vetor complementar é (3, 4, 0) .

Resposta

S é um subespaço vetorial de R^3 com base , (4, -3, 0),, (0, 0, -1) ,, dimensão 2, e seu subespaço vetorial complementar é gerado pelo vetor (3, 4, 0) .

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