Mostre que
é subespaço vetorial do
, determine uma base, a dimensão e encontre o seu subespaço vetorial complementar.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Depois disso, precisamos encontrar uma base para
, determinar a dimensão desse subespaço e também descobrir qual é o subespaço vetorial complementar a
. Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços, bases, e dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
realmente é um subespaço vetorial de
. Para isso, precisamos checar três coisas:
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 3
Vamos começar pelo vetor zero. Se escolhermos
e
, temos:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 4
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Pegamos dois vetores quaisquer em
:
Somando eles:
Como
e
são reais, o vetor resultante também está em
.
Passo 5
Por último, vamos verificar a multiplicação por escalar. Pegamos um vetor em
e um escalar
:
Como
e
são reais, o vetor resultante também está em
.
Passo 6
Como todas as três condições são satisfeitas, concluímos que
é realmente um subespaço vetorial de
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma base para
. Observe que qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Então, os vetores
e
geram
e são linearmente independentes. Portanto, uma base de
é:
Passo 8
A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como nossa base tem 2 vetores, a dimensão de
é 2.
Passo 9
Por fim, vamos encontrar o subespaço vetorial complementar a
em
. Sabemos que a dimensão do complemento será
. Precisamos encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos os vetores da base de
.
Vamos considerar o vetor
tal que:
Isso resulta nas equações:
Da segunda equação,
. Da primeira,
, podemos escolher
e
, por exemplo. Assim, um vetor complementar é
.