Suponha que um experimento é realizado n vezes. Para qualquer evento E do espaço amostral seja n(E) o número de vezes que o evento E ocorre, e defina f(E)=n(E) / n. Mostre que f(. ) satisfaz os axiomas de uma probabili- dade.

Passo 1

O enunciado define a frequência relativa do evento E em n experimentos como f(E)=tfracn(E)n. O conteúdo é teoria de probabilidade (axiomas de Kolmogorov) e vamos usar as definições de não-negatividade, normalização e aditividade de eventos disjuntos.

Passo 2

Primeiro axioma (não-negatividade): como n(E) é o número de ocorrências de E em n experimentos, temos n(E)>=0. Dividindo por n>0 resulta
f(E)=n(E)n>=0

Passo 3

Segundo axioma (normalização): o espaço amostral Omega ocorre em todos os n experimentos, logo n(Omega)=n. Então
f(Omega)=n(Omega)n=nn=1

Passo 4

Terceiro axioma (aditividade contável): sejam E1,E2,dots eventos mutuamente disjuntos. Como em cada ensaio cai exatamente em um único evento, o total de ocorrências da união é a soma das ocorrências:
nl(cupi=1^infty Eir)= sumi=1^infty n(Ei)
Dividindo por n obtemos
fl(cupi=1^infty Eir)= 1nsumi=1^infty n(Ei)= sumi=1^infty f(Ei)

Passo 5

Como os três axiomas de probabilidade (não-negatividade, normalização e aditividade contável) estão satisfeitos, f(cdot) é uma probabilidade.

Resposta

A função f definida por f(E)=n(E)/n satisfaz os três axiomas de Kolmogorov e, portanto, é uma medida de probabilidade.

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