Suponha que um experimento é realizado
vezes. Para qualquer evento
do espaço amostral seja
o número de vezes que o evento
ocorre, e defina
. Mostre que
.
dade.
Passo 1
O enunciado define a frequência relativa do evento E em n experimentos como
. O conteúdo é teoria de probabilidade (axiomas de Kolmogorov) e vamos usar as definições de não-negatividade, normalização e aditividade de eventos disjuntos.
Passo 2
Primeiro axioma (não-negatividade): como
é o número de ocorrências de E em n experimentos, temos
. Dividindo por
resulta
Passo 3
Segundo axioma (normalização): o espaço amostral
ocorre em todos os n experimentos, logo
. Então
Passo 4
Terceiro axioma (aditividade contável): sejam
eventos mutuamente disjuntos. Como em cada ensaio cai exatamente em um único evento, o total de ocorrências da união é a soma das ocorrências:
Dividindo por
obtemos
Passo 5
Como os três axiomas de probabilidade (não-negatividade, normalização e aditividade contável) estão satisfeitos,
é uma probabilidade.
Resposta
A função f definida por f(E)=n(E)/n satisfaz os três axiomas de Kolmogorov e, portanto, é uma medida de probabilidade.