Mostre que a substituição v=ln (y) transforma a equação diferencial y^prime+p(x) y=q(x) y ln (y) na equação linear v^prime+p(x)=q(x) v.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' + p(x),y = q(x),y,ln(y)
e sugere a substituição
v = ln(y)
O objetivo é mostrar que, com essa troca de variáveis, obtemos uma equação linear em v:
v' + p(x) = q(x),v

Passo 2

Como v = ln(y), aplicamos a regra da cadeia para achar v'. Temos
v' = ddxl(ln(y)r) = 1y,dydx = y'y

Passo 3

Da igualdade v' = y'y isolamos y':
y' = y,v'

Passo 4

Substituímos y' por y,v' na equação original
y' + p(x),y = q(x),y,ln(y),
ficando
y,v' + p(x),y = q(x),y,ln(y)

Passo 5

Como todos os termos têm fator y, dividimos a equação por yneq 0:
v' + p(x) = q(x),ln(y)

Passo 6

Finalmente usamos ln(y)=v para reescrever o lado direito, obtendo
v' + p(x) = q(x),v,
que é uma equação linear de primeira ordem em v.

Resposta

A substituição v=ln(y) transforma
y' + p(x),y = q(x),y,ln(y)
na equação linear
v' + p(x) = q(x),v

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