Mostre que:
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=\infty.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \ln\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)
diverge, isto é, que sua soma parcial tende a +\infty. Para isso vamos usar propriedades de logaritmos e a noção de série telescópica.

Passo 2

Usamos a propriedade
\ln\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr) =\ln\frac{n+1}{n} =\ln(n+1)-\ln(n).

Passo 3

Definimos a soma parcial S_{N} da série até n=N:
S_{N} =\sum_{n=1}^{N}\ln\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr) =\sum_{n=1}^{N}\bigl[\ln(n+1)-\ln(n)\bigr].
Essa soma é telescópica, pois todos os termos intermediários se cancelam, restando
S_{N}=\ln(N+1)-\ln(1)=\ln(N+1).

Passo 4

Como \lim_{N\to\infty}\ln(N+1)=+\infty, segue que
\lim_{N\to\infty}S_{N}=+\infty,
logo a série diverge para +\infty.

Resposta

A série diverge, ou seja,
\sum_{n=1}^{\infty}\ln\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)=\infty.

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