Mostre que
1-tan ^2 x1+tan ^2 x=1+2 sen^2 x.

Passo 1

Temos que mostrar que 1-tan^2 x1+tan^2 x=1+2sin^2 x. Para isso vamos usar as identidades trigonométricas básicas: tan^2 x=sin^2 xcos^2 x e cos2x=1-tan^2 x1+tan^2 x.

Passo 2

Reescrevendo o lado esquerdo com tan^2 x=sin^2 xcos^2 x:
1-tan^2 x1+tan^2 x =1-sin^2 xcos^2 x1+sin^2 xcos^2 x =cos^2 x-sin^2 xcos^2 xcos^2 x+sin^2 xcos^2 x =cos^2 x-sin^2 xcos^2 x+sin^2 x =cos^2 x-sin^2 x1 =cos2x

Passo 3

No lado direito temos simplesmente 1+2sin^2 x.

Passo 4

Para que a identidade valesse, precisaríamos ter
cos2x=1+2sin^2 x
mas sabemos pela identidade de ângulo duplo que
cos2x=1-2sin^2 x
esses dois resultados só coincidem para valores muito específicos de x, não de forma geral.

Passo 5

Logo, a igualdade proposta não é verdadeira em geral. É provável que no enunciado houvesse um erro de sinal e a identidade correta seria 1-tan^2 x1+tan^2 x=1-2sin^2 x.

Resposta

A identidade dada é falsa em geral: o lado esquerdo é cos2x e o direito é 1+2sin^2 x, que não coincidem.

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