Usando as substituições
mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a integral de
em relação a
pode ser transformada usando umas substituições trigonométricas específicas. Para isso, vamos usar substituições envolvendo a tangente de metade do ângulo (
) e converter tudo em termos de
. Vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais e substituições trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as substituições que nos foram dadas:
E as outras expressões relacionadas a
,
e
em termos de
:
Essas substituições são úteis porque simplificam a integral envolvendo funções trigonométricas complicadas.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na integral original usando essas expressões. Sabemos que:
Então, a integral
fica:
Passo 4
Observamos que
aparece no numerador e denominador, então podemos simplificar:
Agora, nossa integral está mais simples:
.
Passo 5
Vamos resolver essa integral. Note que a fração
pode ser decomposta em frações parciais. Sabemos que:
Multiplicando por 2:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, juntando tudo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Podemos reescrever isso combinando os logaritmos:
Então, temos:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta para
:
Podemos expressar isso em termos de seno e cosseno:
Substituindo:
Resposta
Portanto,