Usando as substituições
t tan (x2), sin x 2 tt^2+1, cos x 1-t^2t^2+1, d x 2 d tt^2+1
mostre que
integral sec x d x=integral 21-t^2 d t=log (t+1)-log (1-t)+C=log (sin (x2)+cos (x2))-log (cos (x2)-sin (x2))+C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a integral de sec x em relação a x pode ser transformada usando umas substituições trigonométricas específicas. Para isso, vamos usar substituições envolvendo a tangente de metade do ângulo ( tan(x2)) e converter tudo em termos de t. Vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais e substituições trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as substituições que nos foram dadas:
t = tan(x2)
E as outras expressões relacionadas a sin x, cos x e dx em termos de t:
sin x = 2tt^2 + 1, cos x = 1 - t^2t^2 + 1, dx = 2,dtt^2 + 1
Essas substituições são úteis porque simplificam a integral envolvendo funções trigonométricas complicadas.

Passo 3

Agora, vamos substituir sec x e dx na integral original usando essas expressões. Sabemos que:
sec x = 1cos x = t^2 + 11 - t^2
Então, a integral integral sec x , dx fica:
integral sec x , dx = integral t^2 + 11 - t^2 cdot 2,dtt^2 + 1

Passo 4

Observamos que (t^2 + 1) aparece no numerador e denominador, então podemos simplificar:
integral t^2 + 11 - t^2 cdot 2,dtt^2 + 1 = integral 21 - t^2 , dt
Agora, nossa integral está mais simples: integral 21 - t^2 , dt.

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Note que a fração 21 - t^2 pode ser decomposta em frações parciais. Sabemos que:
11 - t^2 = 12(11 - t + 11 + t)
Multiplicando por 2:
21 - t^2 = 11 - t + 11 + t
Então, a integral fica:
integral 21 - t^2 , dt = integral (11 - t + 11 + t) , dt

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 11 - t , dt = -ln|1 - t|
integral 11 + t , dt = ln|1 + t|
Então, juntando tudo:
integral 21 - t^2 , dt = -ln|1 - t| + ln|1 + t| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Podemos reescrever isso combinando os logaritmos:
-ln|1 - t| + ln|1 + t| = ln(1 + t1 - t)
Então, temos:
integral sec x , dx = ln(1 + t1 - t) + C

Passo 8

Lembrando que t = tan(x2), substituímos de volta para x:
ln(1 + tan(x2)1 - tan(x2)) + C
Podemos expressar isso em termos de seno e cosseno:
tan(x2) = sin(x2)cos(x2)
Substituindo:
ln(1 + sin(x2)cos(x2)1 - sin(x2)cos(x2)) + C = ln(sin(x2) + cos(x2)cos(x2) - sin(x2)) + C

Resposta

Portanto,
integral sec x , dx = ln(sin(x2) + cos(x2)) - ln(cos(x2) - sin(x2)) + C

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