© Usando o teorema do valor médio, mostre que a potência média transportada pela onda é dado por: PM E D =12 mu v omega^2 Ym^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos o teorema do valor médio para mostrar que a potência média transportada por uma onda é dada por $ P_{MED} = \frac{1}{2} \mu v \omega^{2} Y_{m}^{2} $. Aqui, estamos trabalhando com ondas em uma corda, e precisamos entender como a energia é transmitida através dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a potência de uma onda é a quantidade de energia que passa por um ponto da corda por unidade de tempo. Matematicamente, potência ($ P P éç F F v $):
v

Passo 3

Agora, precisamos expressar a força na corda. Para uma onda em uma corda, a força é relacionada à tensão ($ T T àçã y y çãç x $):
x

Passo 4

Vamos considerar uma onda senoidal viajando na corda. A posição $ y $ em função do tempo ($ t y ç x $) pode ser escrita como:
t
Onde:
  • $ Y_{m} $ é a amplitude da onda
  • $ k $ é o número de onda
  • $ \omega $ é a frequência angular

Passo 5

Calculando a derivada de $ y $ em relação a $ x $:
y
Substituindo na equação da força:
x

Passo 6

A velocidade da onda ($ v $) está relacionada à frequência angular e ao número de onda pela relação:
v
Podemos rearranjar para encontrar $ k $:
v = omegak

Passo 7

Agora, substituímos $ k $ na expressão da força:
k

Passo 8

A potência instantânea é então:
P(t) = F cdot v = T cdot Ym ( omegav ) cos(kx - omega t) cdot v = T Ym omega cos(kx - omega t)

Passo 9

Para achar a potência média ($ P_{MED} $), usamos o teorema do valor médio, que para uma função como o cosseno, o valor médio ao longo de um período é zero para a componente senoidal e $ \frac{1}{2} $ para a componente de potência:
PMED

Passo 10

Sabemos que a tensão ($ T T à \mu mu à v $) pela relação:
v
Substituindo $ T $ na expressão da potência média:
T = mu v^2

Passo 11

Finalmente, reorganizando os termos, obtemos:
PMED = 12 mu v omega^2 Ym^2

Resposta

Portanto, a potência média transportada pela onda é dada por:
PMED = 12 mu v omega^2 Ym^2

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