© Usando o teorema do valor médio, mostre que a potência média transportada pela onda é dado por:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos o teorema do valor médio para mostrar que a potência média transportada por uma onda é dada por $ P_{MED} = \frac{1}{2} \mu v \omega^{2} Y_{m}^{2} $. Aqui, estamos trabalhando com ondas em uma corda, e precisamos entender como a energia é transmitida através dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a potência de uma onda é a quantidade de energia que passa por um ponto da corda por unidade de tempo. Matematicamente, potência ($ P
F
v $):
Passo 3
Agora, precisamos expressar a força na corda. Para uma onda em uma corda, a força é relacionada à tensão ($ T
y
x $):
Passo 4
Vamos considerar uma onda senoidal viajando na corda. A posição $ y $ em função do tempo ($ t
x $) pode ser escrita como:
Onde:
- $ Y_{m} $ é a amplitude da onda
- $ k $ é o número de onda
- $ \omega $ é a frequência angular
Passo 5
Calculando a derivada de $ y $ em relação a $ x $:
Substituindo na equação da força:
Passo 6
A velocidade da onda ($ v $) está relacionada à frequência angular e ao número de onda pela relação:
Podemos rearranjar para encontrar $ k $:
Passo 7
Agora, substituímos $ k $ na expressão da força:
Passo 8
A potência instantânea é então:
Passo 9
Para achar a potência média ($ P_{MED} $), usamos o teorema do valor médio, que para uma função como o cosseno, o valor médio ao longo de um período é zero para a componente senoidal e $ \frac{1}{2} $ para a componente de potência:
Passo 10
Sabemos que a tensão ($ T
\mu
v $) pela relação:
Substituindo $ T $ na expressão da potência média:
Passo 11
Finalmente, reorganizando os termos, obtemos:
Resposta
Portanto, a potência média transportada pela onda é dada por: