Mostre que
tem exatamente um zero no intervalo [1,2]. Aproxime este zero em
usando o algoritmo da bisseção.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função
tem exatamente um zero em
e, em seguida, aproximá-lo com erro de ordem
usando o método da bisseção. Vamos usar:
- Teorema do Valor Intermediário (TVI) para garantir existência de raiz.
- Monotonicidade via derivada para unicidade.
- Algoritmo da bisseção e sua estimativa de erro.
Passo 2
Como
é polinomial, ela é contínua em
. Calculamos
Pelo TVI, existe ao menos um
tal que
.
Passo 3
Para mostrar que essa raiz é única, olhamos a derivada
Em
temos
, logo
é estritamente crescente e não muda de sinal mais de uma vez. Portanto há exatamente uma raiz em
.
Passo 4
O método da bisseção começa com
,
e define em cada iteração
Se
tiver o mesmo sinal de
, então a próxima aproximação usa
; caso contrário, usa
. O erro do ponto médio satisfaz
Para garantir erro
<=10^-2 escolhemos como critério de parada
Passo 5
Vamos iterar até
bk-ak<=0,02 :
-
a1=1,;b1=2,;m1=1,5,;f(m1)=0,875>0 [1, 1,5];Longrightarrow -
a2=1,;b2=1,5,;m2=1,25,;f(m2)=-0,296875<0 [1,25, 1,5];Longrightarrow -
a3=1,25,;b3=1,5,;m3=1,375,;f(m3)=0,224609>0 [1,25, 1,375];Longrightarrow -
a4=1,25,;b4=1,375,;m4=1,3125,;f(m4)=-0,054688<0 [1,3125, 1,375];Longrightarrow -
a5=1,3125,;b5=1,375,;m5=1,34375,;f(m5)=0,082861>0 [1,3125, 1,34375];Longrightarrow -
a6=1,3125,;b6=1,34375,;m6=1,328125,;f(m6)=0,015869>0 [1,3125, 1,328125];Longrightarrow
Agora
então o critério de parada está satisfeito.
Passo 6
A estimativa final do zero é o ponto médio
Arredondando a
10^-2 (erro garantido menor que
10^-2 ), obtemos
Resposta
A função
f(x)=x^3-x-1 tem exatamente uma raiz em
[1,2] , e usando o método da bisseção com precisão
10^-2 encontramos