Mostre que f(x)=x^3-x-1 tem exatamente um zero no intervalo [1,2]. Aproxime este zero em 10^-2 usando o algoritmo da bisseção.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função
f(x)=x^3-x-1
tem exatamente um zero em [1,2] e, em seguida, aproximá-lo com erro de ordem 10^-2 usando o método da bisseção. Vamos usar:
  1. Teorema do Valor Intermediário (TVI) para garantir existência de raiz.
  2. Monotonicidade via derivada para unicidade.
  3. Algoritmo da bisseção e sua estimativa de erro.

Passo 2

Como f é polinomial, ela é contínua em [1,2]. Calculamos
f(1)=1^3-1-1=-1<0,
f(2)=2^3-2-1=5>0
Pelo TVI, existe ao menos um cin(1,2) tal que f(c)=0.

Passo 3

Para mostrar que essa raiz é única, olhamos a derivada
f'(x)=3x^2-1
Em [1,2] temos f'(x)>=3cdot1^2-1=2>0, logo f é estritamente crescente e não muda de sinal mais de uma vez. Portanto há exatamente uma raiz em [1,2].

Passo 4

O método da bisseção começa com a0=1, b0=2 e define em cada iteração
mk=ak+bk2
Se f(mk) tiver o mesmo sinal de f(ak), então a próxima aproximação usa [ak+1,bk+1]=[mk,,bk]; caso contrário, usa [ak,,mk]. O erro do ponto médio satisfaz
l|c-mkr|<=bk-ak2
Para garantir erro <=10^-2 escolhemos como critério de parada
bk-ak2<=10^-2 Long<=ftrightarrow bk-ak<=0,02

Passo 5

Vamos iterar até bk-ak<=0,02:
  1. a1=1,;b1=2,;m1=1,5,;f(m1)=0,875>0 ;Longrightarrow[1, 1,5]
  2. a2=1,;b2=1,5,;m2=1,25,;f(m2)=-0,296875<0 ;Longrightarrow[1,25, 1,5]
  3. a3=1,25,;b3=1,5,;m3=1,375,;f(m3)=0,224609>0 ;Longrightarrow[1,25, 1,375]
  4. a4=1,25,;b4=1,375,;m4=1,3125,;f(m4)=-0,054688<0 ;Longrightarrow[1,3125, 1,375]
  5. a5=1,3125,;b5=1,375,;m5=1,34375,;f(m5)=0,082861>0 ;Longrightarrow[1,3125, 1,34375]
  6. a6=1,3125,;b6=1,34375,;m6=1,328125,;f(m6)=0,015869>0 ;Longrightarrow[1,3125, 1,328125]
Agora
b6-a6=1,328125-1,3125=0,015625<=0,02,
então o critério de parada está satisfeito.

Passo 6

A estimativa final do zero é o ponto médio
m6=1,3125+1,3281252=1,3203125
Arredondando a 10^-2 (erro garantido menor que 10^-2), obtemos
xapprox1,32

Resposta

A função f(x)=x^3-x-1 tem exatamente uma raiz em [1,2], e usando o método da bisseção com precisão 10^-2 encontramos
xapprox1,32

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