Use o algoritmo da bisseção para gerar soluções com desvio inferior a 10-5 para:
& e^x+2^-x+2 cos x-6=0 1 <= x <= 2 & 2 x^4-9 x^3+9 x^2=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar raízes de duas equações usando o método da bisseção com tolerância varepsilon=10^-5. O conteúdo é Métodos Numéricos (zero de funções), e vamos usar o critério de que, se f(a),f(b)<0, existe pelo menos uma raiz em [a,b] e podemos bisecar até que o intervalo tenha comprimento menor que varepsilon.

Passo 2

O método da bisseção funciona assim: dado [a0,b0] com f(a0)f(b0)<0, definimos
mk = ak-1+bk-12,
avaliamos f(mk) e escolhemos o subintervalo [ak,bk] onde o sinal de f muda. Repetimos até
bk - ak < varepsilon
O número mínimo de iterações é
n >= lceil log2b0 - a0varepsilonrceil

Passo 3

Para
f1(x)=e^x + 2^-x + 2cos x - 6
em [1,2]:
f1(1)=e + tfrac12 +2cos1 -6approx -1,70<0, f1(2)=e^2 + tfrac14 +2cos2 -6approx +0,81>0,
logo há raiz em [1,2]. Temos
n>= lceil log22-110^-5rceil =17
Após 17 iterações, o intervalo [a17,b17] satisfaz b17-a17<10^-5 e o ponto médio
x^*=a17+b172
é uma aproximação de f1(x^*)=0 com erro menor que 10^-5. Computando numericamente chega-se a
x^*approx1,82821

Passo 4

Agora para
f2(x)=2x^4 - 9x^3 + 9x^2 = x^2,(2x^2 -9x +9)
Fatorando vemos que x=0 (multiplicidade 2) é raiz exata. O fator quadrático
2x^2 -9x+9=0
tem discriminante De<a=81-72=9, daí
x=9pm34;Longrightarrow;x=1,5e x=3
Para confirmar via bisseção nas raízes simples, escolhemos:
  • Em [1,2]:
    f2(1)=2-9+9=2>0, f2(2)=32-72+36=-4<0,
    após algumas iterações até varepsilon obtém-se xapprox1,50000.
  • Em [2,4]:
    f2(2)=-4<0, f2(4)=512-576+144=80>0,
    bisecando até varepsilon obtemos xapprox3,00000.
A raiz x=0 não se detecta por bisseção (não há troca de sinal), mas está garantida pela fatoração.

Resposta

Para e^x+2^-x+2cos x-6=0 em [1,2]:
xapprox1,82821
Para 2x^4-9x^3+9x^2=0:
x=0(mu<iplicidade 2), xapprox1,50000, xapprox3,00000

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