Use aritmética arredondada de quatro dígitos e as fórmulas
ll x1=-b+raizb^2-4 a c2 a, & x2=-b-raizb^2-4 a c2 a x1=-2 cb+raizb^2-4 a c, & x2=-2 cb-raizb^2-4 a c
para obter aproximações mais precisas para as raízes da seguinte equação do 2^-grau. Compute os erros absolutos e erros relativos.
1.002 x^2-11.01 x+0.01265=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de segundo grau
1.002,x^2-11.01,x+0.01265=0
usando aritmética arredondada a quatro algarismos significativos e as fórmulas
x1=-bpmraizb^2-4ac2a, xpequena=-2cbmpraizb^2-4ac
para evitar cancelamento. Em seguida, vamos comparar com as raízes “verdadeiras” (obtidas com alta precisão) e calcular erros absoluto e relativo.

Passo 2

Identificamos a=1.002, b=-11.01, c=0.01265.
  1. Calcular b^2:
(-11.01)^2=121.2201;to;4 sf;to;121.2
  1. Calcular 4ac:
a,c=1.002times0.01265=0.0126753;to;0.01268, 4ac=4times0.01268=0.05072
(tudo em 4 s.f.)
3. Discriminante D=b^2-4ac:
D=121.2-0.05072=121.14928;to;121.1
  1. Raiz discriminante:
raizD=raiz121.1approx11.0045;to;4 sf;to;11.00

Passo 3

Usamos a fórmula clássica para ambas as raízes:
  1. 2a=2times1.002=2.004 (4 s.f.)
x1 =-b+raizD2a =11.01+11.002.004 =22.012.004 approx10.983;to;4 sf;to;10.98
x2 =-b-raizD2a =11.01-11.002.004 =0.012.004 approx0.00499;to;4 sf;to;0.004990

Passo 4

Para a raiz pequena, a fórmula alternativa evita cancelamento:
x2,a< =-2c,b-raizD, =-2times0.01265-11.01-11.00 =-0.02530-22.01 approx0.001149(4 sf)

Passo 5

Obtemos agora as raízes “verdadeiras” com alta precisão (por exemplo, em calculadora ou software):
x1^(exata)approx10.9869, x2^(exata)approx0.001158

Passo 6

Calculamos erros absoluto Eabs=|xap-xex| e relativo Erel=Eabs/|xex|:
  1. Para x1 (fórmula clássica):
Eabs,1=|10.98-10.9869|=0.0069, Erel,1=0.006910.9869approx0.000628
  1. Para x2 (fórmula clássica):
Eabs,2=|0.004990-0.001158|=0.003832, Erel,2=0.0038320.001158approx3.31
  1. Para x2,a< (fórmula estável):
Eabs,2,a<=|0.001149-0.001158|=0.000009, Erel,2,a<=0.0000090.001158approx0.00777

Resposta

As aproximações e erros são:
x1approx10.98
Eabs,1=0.0069, Erel,1=0.000628
x2 (clássico) approx0.004990
Eabs,2=0.003832, Erel,2=3.31
x2 (estável) approx0.001149
Eabs,2,a<=0.000009, Erel,2,a<=0.00777

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