Mostre que, se E tem a mesma orientação que F e, F tem a mesma orientação que G, então E tem a mesma orientação que G.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a relação “tem a mesma orientação” entre espaços vetoriais (ou bases ordenadas) é transitiva. O conteúdo é Álgebra Linear, mais precisamente o conceito de orientação de um espaço vetorial via determinante de mudança de base. Para resolver, vamos usar a definição: duas bases ordenadas têm a mesma orientação se e somente se o determinante da matriz de mudança de uma para a outra é positivo.

Passo 2

Seja (e1,dots,en) uma base representando a orientação E, (f1,dots,fn) uma base para F e (g1,dots,gn) para G. Como E e F têm a mesma orientação, a matriz de mudança de base de E para F, que chamamos de A, satisfaz
det(A)>0
Do mesmo modo, como F e G têm a mesma orientação, a matriz de mudança de base de F para G, que chamamos de B, satisfaz
det(B)>0

Passo 3

A mudança de base de E diretamente para G é dada pela composição das duas mudanças, isto é, pela matriz B,A. Usando a propriedade multiplicativa do determinante, temos
det(B,A)=det(B),det(A)
Como det(A)>0 e det(B)>0, segue que
det(B,A)>0
Logo a matriz de mudança de base de E para G tem determinante positivo, e portanto E e G têm a mesma orientação.

Resposta

E tem a mesma orientação que G.

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