Mostre que, se
tem a mesma orientação que
e,
tem a mesma orientação que
, então
tem a mesma orientação que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a relação “tem a mesma orientação” entre espaços vetoriais (ou bases ordenadas) é transitiva. O conteúdo é Álgebra Linear, mais precisamente o conceito de orientação de um espaço vetorial via determinante de mudança de base. Para resolver, vamos usar a definição: duas bases ordenadas têm a mesma orientação se e somente se o determinante da matriz de mudança de uma para a outra é positivo.
Passo 2
Seja
uma base representando a orientação
,
uma base para
e
para
. Como
e
têm a mesma orientação, a matriz de mudança de base de
para
, que chamamos de
, satisfaz
Do mesmo modo, como
e
têm a mesma orientação, a matriz de mudança de base de
para
, que chamamos de
, satisfaz
Passo 3
A mudança de base de
diretamente para
é dada pela composição das duas mudanças, isto é, pela matriz
. Usando a propriedade multiplicativa do determinante, temos
Como
e
, segue que
Logo a matriz de mudança de base de
para
tem determinante positivo, e portanto
e
têm a mesma orientação.