Sejam
e
bases de
e suponha que
e
são as matrizes de mudança de
para
e, de
para
, respectivamente. Mostre que
é a matriz de mudança de
para
.
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial
com três bases
,
e
. Temos duas matrizes de mudança de base:
-
é a matriz que leva coordenadas de para coordenadas de . -
é a matriz que leva coordenadas de para coordenadas de .
O objetivo é mostrar que, ao compor essas transformações de coordenadas, o produto de matrizes (na ordem correta) será a matriz de mudança depara .
Passo 2
Por definição de matriz de mudança de base, para qualquer vetor
vale
onde
é o vetor de coordenadas de
na base
, e
é o vetor de coordenadas de
na base
.
Passo 3
De modo semelhante, como
converte coordenadas de
em coordenadas de
, temos
Substituindo a expressão de
em termos de
obtemos
Passo 4
A igualdade
mostra que a matriz que transforma diretamente as coordenadas de
em coordenadas de
é o produto
. Portanto, a matriz de mudança de base de
para
é
Resposta
A matriz de mudança de base de
para
é o produto