Sejam E, F e G bases de V^3 e suponha que M e N são as matrizes de mudança de E para F e, de F para G, respectivamente. Mostre que M N é a matriz de mudança de E para G.

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial V^3 com três bases E, F e G. Temos duas matrizes de mudança de base:
  • M é a matriz que leva coordenadas de E para coordenadas de F.
  • N é a matriz que leva coordenadas de F para coordenadas de G.
    O objetivo é mostrar que, ao compor essas transformações de coordenadas, o produto de matrizes (na ordem correta) será a matriz de mudança de E para G.

Passo 2

Por definição de matriz de mudança de base, para qualquer vetor vin V^3 vale
[v]F ;=; M,[v]E
onde [v]E é o vetor de coordenadas de v na base E, e [v]F é o vetor de coordenadas de v na base F.

Passo 3

De modo semelhante, como N converte coordenadas de F em coordenadas de G, temos
[v]G ;=; N,[v]F
Substituindo a expressão de [v]F em termos de [v]E obtemos
[v]G ;=; Nl(M,[v]Er) ;=;(N,M),[v]E

Passo 4

A igualdade [v]G = (N,M),[v]E mostra que a matriz que transforma diretamente as coordenadas de E em coordenadas de G é o produto N,M. Portanto, a matriz de mudança de base de E para G é
N,M

Resposta

A matriz de mudança de base de E para G é o produto
N,M

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