Seja
um vetor não nulo fixado. Dado um vetor
, mostre que existe um único par
de vetores tal que
e
chama-se projeção de
na direção de
(ou sobre
). Notação:
.
Passo 1
O enunciado pede para decompor um vetor fixo
numa parte
paralela a um vetor dado não nulo
e numa parte
ortogonal a
, de modo que
O conteúdo usado é a projeção ortogonal de vetores via produto escalar.
Passo 2
Para garantir que
seja paralelo a
, escrevemos
para algum escalar
. Então
deve ser
A condição
equivale a
Passo 3
Expandindo o produto escalar, temos
Logo
Portanto existe uma escolha de
que garante a decomposição.
Passo 4
Substituindo no termo paralelo, obtemos a projeção
e consequentemente
Passo 5
Para ver que é única, suponha outra decomposição
com
e
. Então
é paralelo a
e ao mesmo tempo ortogonal a
, logo
. Daí
e
, provando unicidade.