Seja v um vetor não nulo fixado. Dado um vetor w, mostre que existe um único par (w1, w2) de vetores tal que w1 / / v, w1 perp v e w1+w2=w ; w1 chama-se projeção de w na direção de v (ou sobre v ). Notação: w1=projv w.

Passo 1

O enunciado pede para decompor um vetor fixo w numa parte w1 paralela a um vetor dado não nulo v e numa parte w2 ortogonal a v, de modo que
w=w1+w2, w1paral<=l v, w2perp v
O conteúdo usado é a projeção ortogonal de vetores via produto escalar.

Passo 2

Para garantir que w1 seja paralelo a v, escrevemos
w1 = alpha,v
para algum escalar alpha. Então w2 deve ser
w2 = w - w1 = w - alpha,v
A condição w2perp v equivale a
(w - alpha,v) cdot v = 0

Passo 3

Expandindo o produto escalar, temos
wcdot v - alpha,(vcdot v) = 0
Logo
alpha = wcdot vvcdot v
Portanto existe uma escolha de alpha que garante a decomposição.

Passo 4

Substituindo no termo paralelo, obtemos a projeção
w1 = wcdot vvcdot v;v,
e consequentemente
w2 = w - w1

Passo 5

Para ver que é única, suponha outra decomposição w = u1 + u2 com u1paral<=lv e u2perpv. Então u1 - w1 é paralelo a v e ao mesmo tempo ortogonal a v, logo u1-w1=0. Daí u1=w1 e u2=w2, provando unicidade.

Resposta

w1=projvw =wcdot vvcdot v;v, w2=w-w1

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