Seja
uma base e defina
(a) Mostre que
é base.
Passo 1
O enunciado dá uma base
num espaço vetorial de dimensão 3 e define
Queremos mostrar que
é uma base. Como o espaço tem dimensão 3, basta provar que
são linearmente independentes.
Passo 2
Suponha que exista combinação linear nula
Substituindo as definições de
, obtemos
Passo 3
Como
é base, os coeficientes de
devem ser todos zero. Logo
Dessas equações segue
, depois
e finalmente
. Isso mostra que só existe a combinação trivial.
Passo 4
Concluímos que
são linearmente independentes. Num espaço de dimensão 3, qualquer conjunto de 3 vetores LI gera o espaço, logo forma base.