Seja E=(e1, e2, e3) uma base e defina
f1 & =e1-e2 f2 & =e3 f3 & =e2+e3
(a) Mostre que F=(f1, f2, f3) é base.

Passo 1

O enunciado dá uma base E=(vec e1,vec e2,vec e3) num espaço vetorial de dimensão 3 e define
vec f1 = vec e1 - vec e2, vec f2 = vec e3, vec f3 = vec e2 + vec e3
Queremos mostrar que F=(vec f1,vec f2,vec f3) é uma base. Como o espaço tem dimensão 3, basta provar que vec f1,vec f2,vec f3 são linearmente independentes.

Passo 2

Suponha que exista combinação linear nula
alpha,vec f1 + beta,vec f2 + gamma,vec f3 = vec 0
Substituindo as definições de vec fi, obtemos
alpha(vec e1 - vec e2) + beta,vec e3 + gamma(vec e2 + vec e3) = alpha,vec e1 + (-alpha + gamma),vec e2 + (beta + gamma),vec e3 = vec 0

Passo 3

Como E é base, os coeficientes de vec e1,vec e2,vec e3 devem ser todos zero. Logo
alpha = 0, -alpha + gamma = 0, beta + gamma = 0
Dessas equações segue alpha=0, depois gamma=0 e finalmente beta=0. Isso mostra que só existe a combinação trivial.

Passo 4

Concluímos que vec f1,vec f2,vec f3 são linearmente independentes. Num espaço de dimensão 3, qualquer conjunto de 3 vetores LI gera o espaço, logo forma base.

Resposta

F=(vec f1,vec f2,vec f3) é base.

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