Seja (e1, e2, e3) uma base ortonormal. Dado u in V^3, mostre que
u=(u cdot e1) e1+(u cdot e2) e2+(u cdot e3) e3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, numa base ortonormal (vec e1,vec e2,vec e3) de V^3, todo vetor vec u pode ser escrito como combinação linear de projeções sobre esses vetores, isto é
vec u = (vec ucdotvec e1),vec e1 + (vec ucdotvec e2),vec e2 + (vec ucdotvec e3),vec e3
Vamos usar a definição de base ortonormal e propriedades do produto interno.

Passo 2

Defina o vetor
v = vec u ;-;sumi=1^3(vec ucdotvec ei),vec ei
Se conseguirmos mostrar que v=vec 0, segue imediatamente a igualdade desejada.

Passo 3

Calcule o produto interno de v com um vetor qualquer da base, digamos vec ej com jin1,2,3. Pela linearidade do produto interno:
vcdotvec ej = vec ucdotvec ej ;-;sumi=1^3(vec ucdotvec ei);(vec eicdotvec ej)
Como a base é ortonormal, vec eicdotvec ej=de<aij. Logo
vcdotvec ej = vec ucdotvec ej ;-; (vec ucdotvec ej) = 0

Passo 4

O vetor v é ortogonal a cada vetor da base e, portanto, a todo o espaço V^3. A única forma de um vetor ser ortogonal a todo o espaço é ser o vetor nulo. Concluímos v=vec 0 e, assim,
vec u = sumi=1^3(vec ucdotvec ei),vec ei

Resposta

vec u = (vec ucdotvec e1),vec e1 ;+; (vec ucdotvec e2),vec e2 ;+; (vec ucdotvec e3),vec e3

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