Seja
uma base ortonormal. Dado
, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, numa base ortonormal
de
, todo vetor
pode ser escrito como combinação linear de projeções sobre esses vetores, isto é
Vamos usar a definição de base ortonormal e propriedades do produto interno.
Passo 2
Defina o vetor
Se conseguirmos mostrar que
, segue imediatamente a igualdade desejada.
Passo 3
Calcule o produto interno de
com um vetor qualquer da base, digamos
com
. Pela linearidade do produto interno:
Como a base é ortonormal,
. Logo
Passo 4
O vetor
é ortogonal a cada vetor da base e, portanto, a todo o espaço
. A única forma de um vetor ser ortogonal a todo o espaço é ser o vetor nulo. Concluímos
e, assim,