Mostre que, em temperaturas suficientemente elevadas, a expressão de Enstein para a capacidade calorífica de um sólido. Eq. 14, se reduz à fórmula clássica, Eq. 11.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, na condição de temperaturas muito elevadas, a capacidade calorífica no modelo de Einstein se reduz à capacidade clássica de Dulong–Petit. O conteúdo da matéria é a estatística quântica aplicada a um sólido de Einstein e, para resolver, iremos usar a expansão em série de Taylor para a função exponencial quando o argumento é pequeno.
Passo 2
A expressão de Einstein para a capacidade calorífica a volume constante é (Eq. 14)
onde
é o número de átomos,
é a constante de Boltzmann,
é a temperatura de Einstein e
é a temperatura do sólido. A fórmula clássica de Dulong–Petit (Eq. 11) é
Passo 3
Para temperaturas muito altas temos
Vamos expandir a exponencial em série de Taylor até segunda ordem em
:
Passo 4
No numerador de
aparece
, e no denominador
. Com a expansão:
então
Portanto, para
:
Passo 5
Substituindo esse resultado em
:
Logo, no limite de temperaturas elevadas (
), a expressão de Einstein reduz-se à fórmula clássica de Dulong–Petit.