Mostre que, em temperaturas suficientemente elevadas, a expressão de Enstein para a capacidade calorífica de um sólido. Eq. 14, se reduz à fórmula clássica, Eq. 11.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na condição de temperaturas muito elevadas, a capacidade calorífica no modelo de Einstein se reduz à capacidade clássica de Dulong–Petit. O conteúdo da matéria é a estatística quântica aplicada a um sólido de Einstein e, para resolver, iremos usar a expansão em série de Taylor para a função exponencial quando o argumento é pequeno.

Passo 2

A expressão de Einstein para a capacidade calorífica a volume constante é (Eq. 14)
C_V = 3N k_B \left(\frac{\Theta_E}{T}\right)^{2} \frac{e^{\Theta_E/T}}{\bigl(e^{\Theta_E/T}-1\bigr)^{2}}
onde N é o número de átomos, k_B é a constante de Boltzmann, \Theta_E é a temperatura de Einstein e T é a temperatura do sólido. A fórmula clássica de Dulong–Petit (Eq. 11) é
C_V^{\text{clássica}} = 3N k_B.á

Passo 3

Para temperaturas muito altas temos
T \gg \Theta_E \quad\Longrightarrow\quad x \equiv \frac{\Theta_E}{T} \ll 1.
Vamos expandir a exponencial em série de Taylor até segunda ordem em x:
e^{x} = 1 + x + \tfrac{x^2}{2} + O(x^3).

Passo 4

No numerador de C_V aparece e^{x}, e no denominador \bigl(e^{x}-1\bigr)^{2}. Com a expansão:
e^{x}-1 = \bigl(1 + x + \tfrac{x^2}{2} + \cdots\bigr)-1 = x + \tfrac{x^2}{2} + O(x^3),
então
\bigl(e^{x}-1\bigr)^{2} = \bigl(x + \tfrac{x^2}{2} + \cdots\bigr)^{2} = x^{2}\bigl(1 + \tfrac{x}{2} + O(x^2)\bigr)^{2} = x^{2}\bigl(1 + O(x)\bigr).
Portanto, para x\to0:
\frac{e^{x}}{\bigl(e^{x}-1\bigr)^{2}} \approx \frac{1 + x + \tfrac{x^2}{2}}{x^{2}\bigl(1 + O(x)\bigr)} = \frac{1}{x^{2}}\bigl(1 + O(x)\bigr).

Passo 5

Substituindo esse resultado em C_V:
C_V = 3N k_B \;x^{2}\;\frac{e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}} \approx 3N k_B \;x^{2}\;\frac{1}{x^{2}} = 3N k_B.
Logo, no limite de temperaturas elevadas ( x\to0), a expressão de Einstein reduz-se à fórmula clássica de Dulong–Petit.

Resposta

C_V \;\longrightarrow\; 3N k_B \quad\text{quando}\quad T \gg \Theta_E.

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