Mostre que o Teorema do ponto fixo se aplica à função definida por
, no intervalo
, isto é , a iteração ponto fixo converge par a solução da equação.
Calcule as iterações do ponto fixo com aproximação inicial
, estimando o erro absoluto da aproximação.
Calcule as iterações do ponto fixo com aproximação inicial
Passo 1
O enunciado pede para aplicarmos o Teorema do Ponto Fixo (Teorema de Banach) à função
no intervalo
, mostrando que a iteração
converge para a solução de
O conteúdo aqui é o Teorema do Ponto Fixo em espaços métricos: precisamos verificar que
leva o intervalo num sub‐intervalo dele mesmo e que é contração (isto é, tem derivada em módulo menor que 1).
Passo 2
Mostramos que
mapeia
em si mesmo. Para
temos
logo
Passo 3
Calculamos a derivada
e, em
, tem-se
Portanto
é contração com constante de Lipschitz
.
Passo 4
Pelo Teorema do Ponto Fixo,
tem um único ponto fixo
e a sequência
converge para
, que satisfaz
.
Passo 5
Fazemos a iteração com
:
Passo 6
Usamos a estimativa de erro posteriori
Para
,
então
Resposta
A iteração do ponto fixo converge para o único
satisfazendo
, com
. Após 10 iterações, a aproximação
tem erro absoluto estimado por