Mostre que o Teorema do ponto fixo se aplica à função definida por \mathbf{g}(\mathbf{x})=\mathbf{c o s x}, no intervalo [0,5,1), isto é , a iteração ponto fixo converge par a solução da equação. \boldsymbol{\operatorname { c o s }} \mathbf{x}=\mathbf{x}
Calcule as iterações do ponto fixo com aproximação inicial \mathbf{x}^{(\mathbf{0})}=\mathbf{0 , 7}, estimando o erro absoluto da aproximação.

Passo 1

O enunciado pede para aplicarmos o Teorema do Ponto Fixo (Teorema de Banach) à função
g(x)=\cos(x)
no intervalo [0{,}5,1), mostrando que a iteração
x_{n+1}=g(x_n)
converge para a solução de
\cos(x)=x.
O conteúdo aqui é o Teorema do Ponto Fixo em espaços métricos: precisamos verificar que g leva o intervalo num sub‐intervalo dele mesmo e que é contração (isto é, tem derivada em módulo menor que 1).

Passo 2

Mostramos que g mapeia [0{,}5,1) em si mesmo. Para x\in[0{,}5,1) temos
\cos(1)\approx0{,}5403 \quad\text{e}\quad \cos(0{,}5)\approx0{,}8776,
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g([0{,}5,1))=[\cos(1),\,\cos(0{,}5)]\subset[0{,}5,1).

Passo 3

Calculamos a derivada
g'(x)=-\sin(x),
e, em [0{,}5,1), tem-se
|g'(x)|=|\sin(x)|\le\sin(1)\approx0{,}84<1.
Portanto g é contração com constante de Lipschitz L=\sin(1)\approx0{,}84.

Passo 4

Pelo Teorema do Ponto Fixo, g tem um único ponto fixo \alpha\in[0{,}5,1) e a sequência x_{n+1}=g(x_n) converge para \alpha, que satisfaz \cos(\alpha)=\alpha.

Passo 5

Fazemos a iteração com x_0=0{,}7:
\begin{aligned} x_1&=\cos(0{,}7)\approx0{,}7648,\\\ x_2&=\cos(0{,}7648)\approx0{,}7221,\\\ x_3&=\cos(0{,}7221)\approx0{,}7501,\\\ x_4&=\cos(0{,}7501)\approx0{,}7317,\\\ x_5&=\cos(0{,}7317)\approx0{,}7447,\\\ x_6&=\cos(0{,}7447)\approx0{,}7359,\\\ x_7&=\cos(0{,}7359)\approx0{,}7410,\\\ x_8&=\cos(0{,}7410)\approx0{,}7375,\\\ x_9&=\cos(0{,}7375)\approx0{,}7400,\\\ x_{10}&=\cos(0{,}7400)\approx0{,}7384. \end{aligned}

Passo 6

Usamos a estimativa de erro posteriori
|\alpha - x_n|\le\frac{L}{1-L}\,|x_n-x_{n-1}|.
Para n=10,
|x_{10}-x_9|\approx|0{,}7384-0{,}7400|=0{,}0016,
então
|\alpha - x_{10}|\le\frac{0{,}84}{1-0{,}84}\;0{,}0016 =\frac{0{,}84}{0{,}16}\;0{,}0016\approx5{,}25\cdot0{,}0016\approx0{,}0084.

Resposta

A iteração do ponto fixo converge para o único \alpha satisfazendo \cos(\alpha)=\alpha, com \alpha\approx0{,}7391. Após 10 iterações, a aproximação x_{10}\approx0{,}7384 tem erro absoluto estimado por
|\alpha - x_{10}|\lesssim0{,}0084.

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