Mostre que, na teoria de Bohr, a energia do fóton E_{1} emitido quando o elétron de um átomo de hidrogênio faz uma transição de n+2 para n pode ser escrita em função da energia E_{2} correspondente à transição de n+1 \rightarrow n :
E_{1}=E_{2}\left[\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}} \cdot \frac{2 n+1}{2 n+3}\right]

Passo 1

O enunciado pede que se relacione duas energias de fótons emitidos num átomo de hidrogénio segundo a teoria de Bohr:
  • E_{1} é a energia do fóton emitido na transição (n+2)\to n.
  • E_{2} é a energia do fóton emitido na transição (n+1)\to n.
A tarefa é mostrar uma relação entre E_{1} e E_{2}. Foram dadas apenas as definições das transições; tudo o mais necessário será usado a partir das leis da teoria de Bohr (níveis de energia do átomo de hidrogénio).

Passo 2

Relembrar e deduzir a expressão para a energia do nível n no modelo de Bohr (a dedução é curta e útil para entender de onde vêm as constantes).
Bohr usa duas condições essenciais para o elétron ligado:
  1. Força centrípeta fornecida pela força coulombiana:
\frac{m v^{2}}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r^{2}},
onde m é a massa do elétron, v sua velocidade, r o raio da órbita, e a carga elementar e \varepsilon_{0} a permissividade do vácuo.
  1. Quantização do momento angular:
m v r = n\hbar,
onde n é um inteiro positivo (o número quântico) e \hbar=\dfrac{h}{2\pi} é a constante de Planck reduzida.
Vamos usar essas duas equações para obter r e v em função de n.
Da segunda equação isolamos v:
v=\frac{n\hbar}{m r}.
Substituindo na primeira:
\frac{m}{r}\left(\frac{n\hbar}{m r}\right)^{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r^{2}}.
Simplificando:
\frac{n^{2}\hbar^{2}}{m r^{3}}=\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}.
Multiplicando por r^{3} e resolvendo para r
r=\frac{4\pi\varepsilon_{0}\hbar^{2}}{m e^{2}}\,n^{2}.
Ou seja, o raio da órbita cresce como n^{2}.

Passo 3

Agora calculamos a energia total do elétron em órbita n. A energia cinética é
K=\frac{1}{2}m v^{2}.
Usando a relação da força (passo 2) obtém-se (uma identidade útil no modelo de Bohr):
K=\frac{1}{8\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}.
A energia potencial coulombiana (referida ao elétron e núcleo) é
U=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}.
A energia total é E_n=K+U. Substituindo:
E_n = \frac{1}{8\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r} - \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r} = -\frac{1}{8\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}.
Agora substituímos o valor de r que encontramos:
r=\frac{4\pi\varepsilon_{0}\hbar^{2}}{m e^{2}}\,n^{2}.
Logo
E_n = -\frac{1}{8\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{\,\dfrac{4\pi\varepsilon_{0}\hbar^{2}}{m e^{2}}\,n^{2}\,} = -\frac{m e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2} \hbar^{2}}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
Para ficar mais compacto, defina a constante positiva
C \equiv \frac{m e^{4}}{8\varepsilon_{0}^{2} \hbar^{2}}.
Então a energia do nível n é
E_n = -\frac{C}{n^{2}}.
(Para referência numérica C\approx 13{,}6\\ \mathrm{eV}, mas não precisamos do valor numérico aqui.)

Passo 4

Energia do fóton emitido numa transição é a diferença entre a energia inicial e final:
E_{\text{fóton}} = E_{\text{inicial}} - E_{\text{final}}.ó
Para a transição (n+2)\to n (isto é, nível inicial n+2 e final n) temos
E_{1} = E_{n+2} - E_{n} = -\frac{C}{(n+2)^{2}} - \left(-\frac{C}{n^{2}}\right) = C\!\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+2)^{2}}\right).
Para a transição (n+1)\to n temos
E_{2} = E_{n+1} - E_{n} = -\frac{C}{(n+1)^{2}} - \left(-\frac{C}{n^{2}}\right) = C\!\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right).
Queremos E_{1} em função de E_{2}. Começamos formando a razão:
\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{1}{(n+2)^{2}}}{\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{1}{(n+1)^{2}}}.
Agora simplificamos cada diferença. Para o numerador:
\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+2)^{2}} = \frac{(n+2)^{2}-n^{2}}{n^{2}(n+2)^{2}} = \frac{4n+4}{n^{2}(n+2)^{2}} = \frac{4(n+1)}{n^{2}(n+2)^{2}}.
Para o denominador:
\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}} = \frac{(n+1)^{2}-n^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}.
Dividindo numerador por denominador:
\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{\dfrac{4(n+1)}{n^{2}(n+2)^{2}}}{\dfrac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}} = \frac{4(n+1)}{(n+2)^{2}}\cdot\frac{(n+1)^{2}}{2n+1}.
Reunindo fatores:
\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{4 (n+1)^{3}}{(n+2)^{2}(2n+1)}.
Portanto
E_{1} = E_{2}\,\frac{4 (n+1)^{3}}{(n+2)^{2}(2n+1)}.

Passo 5

Comparação com a fórmula pedida no enunciado.
O enunciado pedia para mostrar
E_{1}=E_{2}\left[\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot\frac{2 n+1}{2 n+3}\right].
No entanto, a relação correta, obtida por derivação direta das energias de Bohr, é
E_{1}=E_{2}\,\frac{4 (n+1)^{3}}{(n+2)^{2}(2n+1)}.
Pode confirmar numericamente que as duas expressões não coincidem (por exemplo, para n=1 a expressão correta dá E_{1}/E_{2}=32/27\approx1{,}185, enquanto a fórmula do enunciado daria 12/5=2{,}4). Logo a expressão do enunciado não está consistente com a teoria de Bohr; a expressão correta é a que acabámos de obter.
Força aí — deu trabalho, mas é só manipulação algébrica e lembrar a fórmula dos níveis de Bohr. Se quiser, faço a dedução com constantes numéricas (13,6 eV) para ver números concretos para um n específico.

Resposta

E_{1}=E_{2}\,\frac{4 (n+1)^{3}}{(n+2)^{2}(2n+1)}

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