Mostre que, na teoria de Bohr, a energia do fóton
emitido quando o elétron de um átomo de hidrogênio faz uma transição de
para
pode ser escrita em função da energia
correspondente à transição de
:
Passo 1
O enunciado pede que se relacione duas energias de fótons emitidos num átomo de hidrogénio segundo a teoria de Bohr:
-
é a energia do fóton emitido na transição . -
é a energia do fóton emitido na transição .
A tarefa é mostrar uma relação entre
e
. Foram dadas apenas as definições das transições; tudo o mais necessário será usado a partir das leis da teoria de Bohr (níveis de energia do átomo de hidrogénio).
Passo 2
Relembrar e deduzir a expressão para a energia do nível
no modelo de Bohr (a dedução é curta e útil para entender de onde vêm as constantes).
Bohr usa duas condições essenciais para o elétron ligado:
- Força centrípeta fornecida pela força coulombiana:
onde
é a massa do elétron,
sua velocidade,
o raio da órbita,
a carga elementar e
a permissividade do vácuo.
- Quantização do momento angular:
onde
é um inteiro positivo (o número quântico) e
é a constante de Planck reduzida.
Vamos usar essas duas equações para obter
e
em função de
.
Da segunda equação isolamos
:
Substituindo na primeira:
Simplificando:
Multiplicando por
e resolvendo para
dá
Ou seja, o raio da órbita cresce como
.
Passo 3
Agora calculamos a energia total do elétron em órbita
. A energia cinética é
Usando a relação da força (passo 2) obtém-se (uma identidade útil no modelo de Bohr):
A energia potencial coulombiana (referida ao elétron e núcleo) é
A energia total é
. Substituindo:
Agora substituímos o valor de
que encontramos:
Logo
Para ficar mais compacto, defina a constante positiva
Então a energia do nível
é
(Para referência numérica
, mas não precisamos do valor numérico aqui.)
Passo 4
Energia do fóton emitido numa transição é a diferença entre a energia inicial e final:
Para a transição
(isto é, nível inicial
e final
) temos
Para a transição
temos
Queremos
em função de
. Começamos formando a razão:
Agora simplificamos cada diferença. Para o numerador:
Para o denominador:
Dividindo numerador por denominador:
Reunindo fatores:
Portanto
Passo 5
Comparação com a fórmula pedida no enunciado.
O enunciado pedia para mostrar
No entanto, a relação correta, obtida por derivação direta das energias de Bohr, é
Pode confirmar numericamente que as duas expressões não coincidem (por exemplo, para
a expressão correta dá
, enquanto a fórmula do enunciado daria
). Logo a expressão do enunciado não está consistente com a teoria de Bohr; a expressão correta é a que acabámos de obter.
Força aí — deu trabalho, mas é só manipulação algébrica e lembrar a fórmula dos níveis de Bohr. Se quiser, faço a dedução com constantes numéricas (13,6 eV) para ver números concretos para um
específico.