Seja V um K-e.v. de dim V e T: V V um operador linear, seja Z(v ; T)= capW in C(v ; T) W onde C(v ; T)=W subseteq V mid W é subespaço T-invariante e v in W. Mostre que:
a Z(v ; T) é T-invariante
b Z(v ; T) é o menor subespaço de V, T-invariante que contem v.
c Z(v ; T)=g(T)(v) in V mid g in K[x]
d dim Z(v ; T)=1 se, e somente se, v é um autovetor de T.

Passo 1

Temos um espaço vetorial finito V sobre K, um vetor v∈V e um operador linear T:V→V. Definimos C(v;T) como o conjunto dos subespaços de V que são T-invariantes e contêm v, e Z(v;T) como a interseção de todos esses subespaços. O conteúdo principal envolve subespaços T-invariantes, interseção de subespaços e o conceito de subespaço cíclico gerado por v.

Passo 2

Para provar que Z(v;T) é T-invariante, basta notar que se z∈Z(v;T) então z pertence a todo W∈C(v;T). Como cada W é T-invariante, T(z)∈W para todo W∈C(v;T). Logo, T(z) pertence à interseção de todos esses W, isto é, T(z)∈Z(v;T).

Passo 3

Para mostrar que Z(v;T) é o menor subespaço T-invariante que contém v, observamos: (i) v∈Z(v;T) pois v está em cada W∈C(v;T); (ii) se U é qualquer subespaço T-invariante com v∈U então U∈C(v;T), logo Z(v;T)=⋂_{W∈C(v;T)}W ⊆ U. Portanto, Z(v;T) é contido em todo subespaço T-invariante que contenha v, caracterizando-o como o menor.

Passo 4

Definimos o subespaço cíclico gerado por v como W_cíc = {g(T)(v) : g∈K[x]}. Primeiro, W_cíc é um subespaço T-invariante que contém v (basta tomar g(x)=1 ou g(x)=x·h(x)). Logo W_cíc∈C(v;T) e Z(v;T)⊆W_cíc. Por outro lado, se W∈C(v;T) então, por indução, T^n(v)∈W para todo n≥0, e assim g(T)(v)∈W para todo g, o que implica W_cíc⊆⋂_{W∈C(v;T)}W=Z(v;T). Concluímos Z(v;T)=W_cíc={g(T)(v):g∈K[x]}.

Passo 5

Para ver que dim
Z(v;T)=1 se, e somente se, v é autovetor de T: (⇒) Se dim
Z(v;T)=1 então Z(v;T)=Span{u} para algum u≠0 e v∈Span{u} implica v=αu. Como Z é T-invariante, T(u)=βu e então T(v)=αT(u)=αβu=βv, ou seja, v é autovetor. (⇐) Se T(v)=λv então Span{v} é subespaço T-invariante que contém v, logo Z(v;T)⊆Span{v}. Mas também v∈Z(v;T) dá Span{v}⊆Z(v;T). Logo Z(v;T)=Span{v} e dim
Z(v;T)=1.

Resposta

Z(v;T) é T-invariante; é o menor subespaço T-invariante que contém v; coincide com o subespaço cíclico {g(T)(v)∣g∈K[x]}; e tem dimensão 1 se, e somente se, v é autovetor de T.

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