Seja
o espaço vetorial das funções de
em
. Mostre que as funções
são linearmente independentes, onde
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções f(t)=\cos t, g(t)=\sin t e h(t)=t são linearmente independentes no espaço V de todas as funções \mathbb{R}\to\mathbb{R}. Vamos usar a definição de independência linear: se αf(t)+βg(t)+γh(t)=0 para todo t∈\mathbb{R}, então α=β=γ=0.
Passo 2
Suponha que exista uma combinação linear nula: α\cos t + β\sin t + γ,t = 0 para todo t∈\mathbb{R}. Isto significa que a função lado esquerdo é identicamente zero.
Passo 3
Observe que o termo γ,t não é periódico em t, enquanto α\cos t + β\sin t é uma função periódica de período 2π. Se γ≠0, então α\cos t+β\sin t + γt cresceria em módulo à medida que t→±∞, e não poderia ser sempre zero. Logo, devemos ter γ=0.
Passo 4
Com γ=0, a combinação reduz-se a α\cos t + β\sin t = 0 para todo t. Agora esta é uma identidade trigonométrica que só ocorre se α=β=0. Por exemplo, avaliando em t=0 obtemos α=0, e em t=π/2 obtemos β=0.
Passo 5
Concluímos que a única solução para αf+βg+γh=0 é α=β=γ=0, portanto f, g e h são linearmente independentes em V.
Resposta
As funções são linearmente independentes, pois a combinação α\cos t+β\sin t+γt=0 implica necessariamente α=β=γ=0.