Seja V o espaço vetorial das funções de R em R. Mostre que as funções f, g, h in V são linearmente independentes, onde f(t)=cos t, g(t)=sen t e h(t)=t.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções f(t)=\cos t, g(t)=\sin t e h(t)=t são linearmente independentes no espaço V de todas as funções \mathbb{R}\to\mathbb{R}. Vamos usar a definição de independência linear: se αf(t)+βg(t)+γh(t)=0 para todo t∈\mathbb{R}, então α=β=γ=0.

Passo 2

Suponha que exista uma combinação linear nula: α\cos t + β\sin t + γ,t = 0 para todo t∈\mathbb{R}. Isto significa que a função lado esquerdo é identicamente zero.

Passo 3

Observe que o termo γ,t não é periódico em t, enquanto α\cos t + β\sin t é uma função periódica de período 2π. Se γ≠0, então α\cos t+β\sin t + γt cresceria em módulo à medida que t→±∞, e não poderia ser sempre zero. Logo, devemos ter γ=0.

Passo 4

Com γ=0, a combinação reduz-se a α\cos t + β\sin t = 0 para todo t. Agora esta é uma identidade trigonométrica que só ocorre se α=β=0. Por exemplo, avaliando em t=0 obtemos α=0, e em t=π/2 obtemos β=0.

Passo 5

Concluímos que a única solução para αf+βg+γh=0 é α=β=γ=0, portanto f, g e h são linearmente independentes em V.

Resposta

As funções são linearmente independentes, pois a combinação α\cos t+β\sin t+γt=0 implica necessariamente α=β=γ=0.

Exercícios relacionados