Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Caso convirja, determine a sua soma. (Dica: relembre que uma série geométrica converge se a razão
.)
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
e, em caso de convergência, calcular sua soma. O conteúdo envolve decomposição em frações parciais e soma telescópica.
Passo 2
Primeiro, note que
logo podemos escrever
Multiplicando ambos os lados por
temos
Tomando valores estratégicos de
:
- Para
: - Para
: - Para
:
Portanto
Passo 3
Agora, a soma parcial
fica
Reescrevendo cada termo:
onde
. Somando tudo, após simplificar usando
obtém-se
Passo 4
Para concluir, basta tomar o limite quando
:
Como o limite existe e é finito, a série converge.
Resposta
A série converge e sua soma é
.