Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Caso convirja, determine a sua soma. (Dica: relembre que uma série geométrica converge se a razão |r|<1.)
sumn=2^infty(1n^3-n)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=2^infty1n^3-n
e, em caso de convergência, calcular sua soma. O conteúdo envolve decomposição em frações parciais e soma telescópica.

Passo 2

Primeiro, note que
n^3-n = n(n-1)(n+1),
logo podemos escrever
1n(n-1)(n+1) =An+Bn-1+Cn+1
Multiplicando ambos os lados por n(n-1)(n+1) temos
1 = A(n-1)(n+1) + B,n(n+1) + C,n(n-1)
Tomando valores estratégicos de n:
  • Para n=0: 1 = Acdot(-1)cdot1implies A=-1
  • Para n=1: 1 = Bcdot1cdot2implies B=tfrac12
  • Para n=-1: 1 = Ccdot(-1)cdot(-2)implies C=tfrac12
    Portanto
1n^3-n =-1n+12,1n-1+12,1n+1

Passo 3

Agora, a soma parcial SN=sumn=2^N1/(n^3-n) fica
SN =sumn=2^Nl(-1n+12(n-1)+12(n+1)r)
Reescrevendo cada termo:
sumn=2^N!-1n = -(HN-1), sumn=2^N12(n-1)=12HN-1, sumn=2^N12(n+1)=12l(HN+1-1-tfrac12r),
onde Hk=sumj=1^k1/j. Somando tudo, após simplificar usando
HN+1=HN+1N+1, HN-1=HN-1N,
obtém-se
SN =14-12N(N+1)

Passo 4

Para concluir, basta tomar o limite quando Ntoinfty:
limNtoinftySN =limNtoinftyl(14-12N(N+1)r) =14
Como o limite existe e é finito, a série converge.

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac14.

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