Mostre que 19^8 n equiv 1(bmod 17), para todo n in N.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
19^8nequiv1pmod17
para todo ninN. O conteúdo aqui é aritmética modular, em particular redução de base e propriedades de potências em restos.

Passo 2

Reduzimos a base 19 módulo 17. Como 19=17+2, temos
19equiv2pmod17,
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19^8nequiv2^8npmod17

Passo 3

Calculamos primeiro 2^4 em módulo 17. Sabendo que 2^4=16, obtemos
2^4equiv16equiv-1pmod17

Passo 4

Elevando ao quadrado a congruência do passo anterior, vem
2^8=(2^4)^2equiv(-1)^2=1pmod17

Passo 5

Finalmente, para todo ninN,
2^8n=l(2^8r)^nequiv1^n=1pmod17
Assim
19^8nequiv2^8nequiv1pmod17

Resposta

19^8nequiv1pmod17para todo ninN

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