Seja T: R^2 R^2 o operador linear cuja matriz canônica é A=[rr4 & 2 3 & -1].
Determine os autovetores de A.

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear Tcolon R^2toR^2 cuja matriz na base canônica é
A = 4 & 2 [6pt] 3 & -1,
e pede os autovetores de A. O conteúdo usado será o de autovalores e autovetores: primeiro calculamos os autovalores resolvendo o polinômio característico det(A-lambda I)=0 e depois, para cada lambda, achamos o espaço nulo de A-lambda I.]

Passo 2

Calculemos o polinômio característico:
det(A-lambda I) = det!4-lambda & 2[3pt] 3 & -1-lambda = (4-lambda)(-1-lambda)-2cdot 3 = lambda^2 -3lambda -10
Igualando a zero,
lambda^2 -3lambda -10 = 0 Longrightarrow lambda = 3pmraiz9+402 = 3pm72,
logo os autovalores são lambda1=5 e lambda2=-2.]

Passo 3

Para encontrar os autovetores associados a cada lambda, resolvemos (A-lambda I)v=0.
Para lambda1=5:
A-5I = 4-5 & 2[3pt] 3 & -1-5 = -1 & 2[3pt] 3 & -6
Isso gera o sistema
-1cdot x + 2cdot y = 0,
isto é x = 2y. Logo os vetores são da forma
l(2y,yr)=y,(2,1) com yneq0.
Para lambda2=-2:
A+2I = 4+2 & 2[3pt] 3 & -1+2 = 6 & 2[3pt] 3 & 1
O sistema é
6x + 2y = 0 Longrightarrow y = -3x,
de modo que os autovetores são l(x,-3xr)=x,(1,-3) com xneq0.]

Resposta

Os autovetores de A são todos os múltiplos de (2,1), associados a lambda=5, e todos os múltiplos de (1,-3), associados a lambda=-2.

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