Mostre que se
para todo elemento
em um grupo
então
deve ser abeliano.
Passo 1
O enunciado afirma que em um grupo
vale
e pede para mostrar que
é abeliano. O conteúdo aqui é teoria de grupos, mais especificamente a propriedade de inversos e inversão de um produto.
Passo 2
Da relação
vem imediatamente que
e, multiplicando dos dois lados à direita por
, obtemos
Ou seja, todo elemento de
é seu próprio inverso.
Passo 3
Para quaisquer
, temos
(pois todo elemento é igual ao seu inverso) e também, pela regra de inversão de um produto,
Mas como
e
, juntando as duas igualdades obtemos
Logo
para todo
, o que significa que
é abeliano.
Resposta
O grupo
é abeliano.