Mostre que se a^2=e para todo elemento a em um grupo G então G deve ser abeliano.

Passo 1

O enunciado afirma que em um grupo G vale
forall ain G,;a^2=e,
e pede para mostrar que G é abeliano. O conteúdo aqui é teoria de grupos, mais especificamente a propriedade de inversos e inversão de um produto.

Passo 2

Da relação a^2=e vem imediatamente que
acdot a=e
e, multiplicando dos dois lados à direita por a^-1, obtemos
a = a^-1
Ou seja, todo elemento de G é seu próprio inverso.

Passo 3

Para quaisquer a,bin G, temos
ab = (ab)^-1
(pois todo elemento é igual ao seu inverso) e também, pela regra de inversão de um produto,
(ab)^-1 = b^-1a^-1
Mas como a^-1=a e b^-1=b, juntando as duas igualdades obtemos
ab = (ab)^-1 = b^-1a^-1 = ba
Logo ab=ba para todo a,bin G, o que significa que G é abeliano.

Resposta

O grupo G é abeliano.

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