Prove ou contradiga: todo subgrupo próprio de um grupo não abeliano é não abeliano.

Passo 1

O enunciado pede para provar ou refutar que “todo subgrupo próprio de um grupo não abeliano é não abeliano”. O conteúdo envolve teoria de grupos, em particular subgrupos próprios e a propriedade de comutatividade (abelianidade). Para refutar basta encontrar um contraexemplo: um grupo não abeliano que tenha algum subgrupo próprio abeliano.

Passo 2

Considere o grupo simétrico de três elementos, G = S3. É conhecido que S3 não é abeliano, pois, por exemplo, se (12) e (23) são transposições, então
(12)circ(23) = (123) neq (132) = (23)circ(12)

Passo 3

Definimos o subconjunto
H = ,e,,(12),
onde e é a permutação identidade. Verificamos que H é um subgrupo próprio de S3:
  • ein H.
  • Se fechamos sob produto e inversão, vemos imediatamente que (12)circ(12)=e e (12)^-1=(12) ainda está em H.
  • Como lvert Hrvert=2, H é cíclico e, portanto, abeliano.

Passo 4

Como S3 é não abeliano mas possui o subgrupo próprio H que é abeliano, concluímos que a afirmação original é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Contraexemplo: em S3, o subgrupo próprio H=e,(12) é abeliano.

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