Prove ou contradiga: todo subgrupo próprio de um grupo não abeliano é não abeliano.
Passo 1
O enunciado pede para provar ou refutar que “todo subgrupo próprio de um grupo não abeliano é não abeliano”. O conteúdo envolve teoria de grupos, em particular subgrupos próprios e a propriedade de comutatividade (abelianidade). Para refutar basta encontrar um contraexemplo: um grupo não abeliano que tenha algum subgrupo próprio abeliano.
Passo 2
Considere o grupo simétrico de três elementos,
. É conhecido que
não é abeliano, pois, por exemplo, se
e
são transposições, então
Passo 3
Definimos o subconjunto
onde
é a permutação identidade. Verificamos que
é um subgrupo próprio de
:
-
. - Se fechamos sob produto e inversão, vemos imediatamente que
e ainda está em . - Como
, é cíclico e, portanto, abeliano.
Passo 4
Como
é não abeliano mas possui o subgrupo próprio
que é abeliano, concluímos que a afirmação original é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa. Contraexemplo: em
, o subgrupo próprio
é abeliano.