Seja
. Mostre que
é um grupo não abeliano em relação à composição de funções.
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrarmos que forma um grupo (não comutativo) sob a operação de composição de funções. Para isso, vamos verificar os quatro axiomas de grupo (fechamento, elemento neutro, inverso e associatividade) e depois dar um exemplo que mostra que a composição em
não é comutativa.
e pede para mostrarmos que
Passo 2
(Fechamento)
Sejam
Sejam
com
. Então
Como
, concluímos que
também é da forma
com coeficiente linear não nulo, logo está em
.
Passo 3
(Elemento neutro)
Devemos encontrar tal que
para todo
. Basta escolher
Devemos encontrar
De fato,
e
. Logo
é o neutro.
Passo 4
(Inverso)
Dada com
, procuramos
tal que
Dada
Temos
Isto exige
e
. Logo
e
. Assim
pertence a
e é o inverso de
.
Passo 5
(Associatividade)
A composição de funções é sempre associativa: para quaisquer tem-se
A composição de funções é sempre associativa: para quaisquer
Como todos em
são funções
, a associatividade vale automaticamente.
Passo 6
(Não comutatividade)
Para ver que não é abeliano, basta um contraexemplo. Seja
Para ver que
Então
mas
Como
, concluímos que
.