Seja F=f: R R, f(x)=a x+b, a, b in R, a neq 0. Mostre que F é um grupo não abeliano em relação à composição de funções.

Passo 1

O enunciado define
F=f:RtoRmid f(x)=ax+b,;a,binR,;aneq0
e pede para mostrarmos que F forma um grupo (não comutativo) sob a operação de composição de funções. Para isso, vamos verificar os quatro axiomas de grupo (fechamento, elemento neutro, inverso e associatividade) e depois dar um exemplo que mostra que a composição em F não é comutativa.

Passo 2

(Fechamento)
Sejam
f(x)=a1x+b1, g(x)=a2x+b2
com a1,a2neq0. Então
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=a1(a2x+b2)+b1 =a1a2,x+(a1b2+b1)
Como a1a2neq0, concluímos que fcirc g também é da forma ax+b com coeficiente linear não nulo, logo está em F.

Passo 3

(Elemento neutro)
Devemos encontrar einF tal que ecirc f=fcirc e=f para todo f(x)=ax+b. Basta escolher
e(x)=1cdot x+0=x
De fato, (ecirc f)(x)=e(ax+b)=ax+b e (fcirc e)(x)=f(x)=ax+b. Logo e(x)=x é o neutro.

Passo 4

(Inverso)
Dada f(x)=ax+b com aneq0, procuramos f^-1(x)=px+q tal que
fl(f^-1(x)r)=x
Temos
f(px+q)=a(px+q)+b=(ap)x+(aq+b)stackrel!=x
Isto exige ap=1 e aq+b=0. Logo p=1/a e q=-b/a. Assim
f^-1(x)=1a,x-ba
pertence a F e é o inverso de f.

Passo 5

(Associatividade)
A composição de funções é sempre associativa: para quaisquer f,g,hcolonRtoR tem-se
fcirc(gcirc h)=(fcirc g)circ h
Como todos em F são funções RtoR, a associatividade vale automaticamente.

Passo 6

(Não comutatividade)
Para ver que F não é abeliano, basta um contraexemplo. Seja
f(x)=2xe g(x)=x+3
Então
(fcirc g)(x)=2(x+3)=2x+6,
mas
(gcirc f)(x)=(2x)+3=2x+3
Como 2x+6neq2x+3, concluímos que fcirc gneq gcirc f.

Resposta

F satisfaz fechamento, possui elemento neutro e(x)=x, todo f(x)=ax+b tem inverso f^-1(x)=tfrac1a,x-tfrac b a, e a composição é associativa. Contudo, há funções que não comutam sob composição, logo F é um grupo não abeliano.

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