Prove ou contradiga: Se H é um subgrupo normal de G tal que H e G / H são abelianos, então G é abeliano.

Passo 1

O enunciado pergunta se, em teoria de grupos, dado um subgrupo normal H de G tal que tanto H quanto o quociente G/H são abelianos, segue-se que G é abeliano. Vamos dar um contraexemplo para mostrar que isso não ocorre em geral.

Passo 2

Considere G = S3, o grupo de todas as permutações de três elementos, e seja
H = A3 = ,id,,(123),,(132),
Sabemos que A3 é um subgrupo normal de S3 de índice 2.

Passo 3

Verificamos que H=A3 é abeliano, pois é cíclico de ordem 3. Ou seja, todas as permutações (123) e (132) comutam entre si:
(123),(132)=(132),(123)=id

Passo 4

O grupo quociente S3/A3 tem apenas dois elementos:
A3 e (12)A3,
logo |S3/A3|=2. Qualquer grupo de ordem 2 é abeliano, então S3/A3 é abeliano.

Passo 5

Ainda assim, S3 não é abeliano. Por exemplo, as transposições (12) e (13) não comutam:
(12),(13)=(132) enquanto (13),(12)=(123),
e (132)neq(123).

Resposta

O enunciado é falso. Um contraexemplo é G=S3, H=A3: tanto H quanto G/H são abelianos, mas G não é.

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