Prove ou contradiga: Se
é um subgrupo normal de
tal que
e
são abelianos, então
é abeliano.
Passo 1
O enunciado pergunta se, em teoria de grupos, dado um subgrupo normal
de
tal que tanto
quanto o quociente
são abelianos, segue-se que
é abeliano. Vamos dar um contraexemplo para mostrar que isso não ocorre em geral.
Passo 2
Considere
, o grupo de todas as permutações de três elementos, e seja
Sabemos que
é um subgrupo normal de
de índice
.
Passo 3
Verificamos que
é abeliano, pois é cíclico de ordem
. Ou seja, todas as permutações
e
comutam entre si:
Passo 4
O grupo quociente
tem apenas dois elementos:
logo
. Qualquer grupo de ordem
é abeliano, então
é abeliano.
Passo 5
Ainda assim,
não é abeliano. Por exemplo, as transposições
e
não comutam:
e
.
Resposta
O enunciado é falso. Um contraexemplo é
,
: tanto
quanto
são abelianos, mas
não é.