Mostre que todo espaço métrico finito é discreto.

Passo 1

Enunciado dado: temos um espaço métrico finito. Ou seja, existe um conjunto X com um número finito de pontos e uma distância d que torna (X,d) um espaço métrico.
O que o problema pede: mostrar que todo espaço métrico finito é discreto. Em outras palavras, provar que a topologia induzida pela métrica d é a topologia discreta — isto é, todo subconjunto de X é aberto (equivalentemente: todo singleton \{x\} é aberto).
Informações relevantes fornecidas:
(X,d)\text{ é um espaço métrico e }X\text{ é finito.}éçéé

Passo 2

Vamos lembrar definições e propriedades fundamentais (são coisas simples, prometo que não é chato):
  • Métrica: d é uma função que a cada par de pontos x,y\in X associa um número real d(x,y) com as propriedades usuais. A que precisamos agora é a definitude: se x\neq y então d(x,y)>0; e d(x,x)=0.
  • Bola aberta centrada em x de raio r>0: definida por
B(x,r)=\{y\in X : d(x,y)<r\}.
Essa é a noção básica de vizinhança num espaço métrico.
  • Espaço discreto: uma forma prática de dizer que (X,d) é discreto é afirmar que todo singleton \{x\} é aberto. Se todo singleton é aberto, então qualquer subconjunto de X (que é união de singletons) também é aberto.
Explicação curta do porquê da estratégia intuitiva: para mostrar que \{x\} é aberto, basta encontrar um r>0 tal que B(x,r)=\{x\}. Em espaços com muitos pontos isso pode falhar (há pontos arbitrariamente próximos), mas em espaços finitos a distância mínima entre x e os outros pontos existe e é positiva — isso é a chave.

Passo 3

Trate primeiro o caso trivial: se X tem apenas um ponto, então X=\{x\} e claramente \{x\} é aberta (por exemplo B(x,1)=\{x\}). Logo o espaço é discreto. Agora suponha que |X|\ge 2.
Fixe um ponto arbitrário x\in X. Considere o conjunto das distâncias de x para os outros pontos:
S_x=\{d(x,y) : y\in X,\\ y\neq x\}.
Observações importantes:
  • Como X é finito e removemos x, o conjunto de pontos \{y\in X: y\neq x\} é finito não vazio, logo S_x é um conjunto finito de números reais.
  • Para cada y\neq x temos d(x,y)>0 pela propriedade da métrica, então todos os elementos de S_x são estritamente positivos.
  • Sendo S_x finito e constituído por números reais positivos, ele possui um mínimo. Defina
r:=\min S_x.
Portanto r>0.

Passo 4

Agora vou construir a bola que isola x. Tome a bola aberta de centro x e raio \dfrac{r}{2}:
B\Bigl(x,\frac{r}{2}\Bigr)=\{y\in X : d(x,y)<\tfrac{r}{2}\}.
Mostro que essa bola contém somente x.
Prova: seja y\in B\bigl(x,\tfrac{r}{2}\bigr). Então d(x,y)<\tfrac{r}{2}.
  • Se y=x estamos bem — x pertence à bola.
  • Se y\neq x, então por definição de r temos d(x,y)\ge r (pois r é o menor valor possível entre as distâncias de x a pontos distintos). Mas então d(x,y)\ge r>\tfrac{r}{2}, o que contradiz d(x,y)<\tfrac{r}{2}. Logo não pode haver y\neq x em B\bigl(x,\tfrac{r}{2}\bigr).
Portanto a única possibilidade é y=x, isto é,
B\Bigl(x,\frac{r}{2}\Bigr)=\{x\}.

Passo 5

Conseqüências imediatas: como para cada ponto x\in X encontramos um raio \tfrac{r}{2}>0 tal que B(x,\tfrac{r}{2})=\{x\}, cada singleton \{x\} é aberto. Como qualquer subconjunto de X é união de singletons, todo subconjunto é aberto. Isso significa precisamente que a topologia induzida pela métrica d é a topologia discreta.
Pequena nota de ânimo: o argumento é curto e muito prático — a finitude garante existência do mínimo de distâncias, e esse mínimo permite construir uma bola que “isola” o ponto.

Resposta

Para qualquer espaço métrico finito (X,d) a topologia induzida por d é discreta (ou seja, todo subconjunto de X é aberto).

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