Mostre que todo espaço métrico finito é discreto.
Passo 1
Enunciado dado: temos um espaço métrico finito. Ou seja, existe um conjunto
com um número finito de pontos e uma distância
que torna
um espaço métrico.
O que o problema pede: mostrar que todo espaço métrico finito é discreto. Em outras palavras, provar que a topologia induzida pela métrica é a topologia discreta — isto é, todo subconjunto de
é aberto (equivalentemente: todo singleton
é aberto).
O que o problema pede: mostrar que todo espaço métrico finito é discreto. Em outras palavras, provar que a topologia induzida pela métrica
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Vamos lembrar definições e propriedades fundamentais (são coisas simples, prometo que não é chato):
- Métrica:
é uma função que a cada par de pontos associa um número real com as propriedades usuais. A que precisamos agora é a definitude: se então ; e . - Bola aberta centrada em
de raio : definida por
Essa é a noção básica de vizinhança num espaço métrico.
- Espaço discreto: uma forma prática de dizer que
é discreto é afirmar que todo singleton é aberto. Se todo singleton é aberto, então qualquer subconjunto de (que é união de singletons) também é aberto.
Explicação curta do porquê da estratégia intuitiva: para mostrar que
é aberto, basta encontrar um
tal que
. Em espaços com muitos pontos isso pode falhar (há pontos arbitrariamente próximos), mas em espaços finitos a distância mínima entre
e os outros pontos existe e é positiva — isso é a chave.
Passo 3
Trate primeiro o caso trivial: se
tem apenas um ponto, então
e claramente
é aberta (por exemplo
). Logo o espaço é discreto. Agora suponha que
.
Fixe um ponto arbitrário
. Considere o conjunto das distâncias de
para os outros pontos:
Observações importantes:
- Como
é finito e removemos , o conjunto de pontos é finito não vazio, logo é um conjunto finito de números reais. - Para cada
temos pela propriedade da métrica, então todos os elementos de são estritamente positivos. - Sendo
finito e constituído por números reais positivos, ele possui um mínimo. Defina
Portanto
.
Passo 4
Agora vou construir a bola que isola
. Tome a bola aberta de centro
e raio
:
Mostro que essa bola contém somente
.
Prova: seja
. Então
.
- Se
estamos bem — pertence à bola. - Se
, então por definição de temos (pois é o menor valor possível entre as distâncias de a pontos distintos). Mas então , o que contradiz . Logo não pode haver em .
Portanto a única possibilidade é
, isto é,
Passo 5
Conseqüências imediatas: como para cada ponto
encontramos um raio
tal que
, cada singleton
é aberto. Como qualquer subconjunto de
é união de singletons, todo subconjunto é aberto. Isso significa precisamente que a topologia induzida pela métrica
é a topologia discreta.
Pequena nota de ânimo: o argumento é curto e muito prático — a finitude garante existência do mínimo de distâncias, e esse mínimo permite construir uma bola que “isola” o ponto.
Resposta
Para qualquer espaço métrico finito
a topologia induzida por
é discreta (ou seja, todo subconjunto de
é aberto).