Sejam
inteiros. Prove que:
se, e somente se, a-b é um número natural positivo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a equivalência entre duas afirmações nos inteiros: “a > b” e “a−b é um número natural positivo”. Vamos usar o conceito de ordem em ℤ e a definição de naturais positivos (ℕ⁺ = {1,2,3,…}).
Passo 2
Primeiro, assumimos que a > b. Como a e b são inteiros e a é estritamente maior que b, temos que existe pelo menos 1 unidade de diferença entre eles, ou seja, a ≥ b+1. Subtraindo b de ambos os lados, vem que a−b ≥ 1. Como a−b é inteiro e maior ou igual a 1, concluímos que a−b ∈ ℕ⁺.
Passo 3
Agora, para a recíproca, assumimos que a−b ∈ ℕ⁺. Por definição de naturais positivos, existe um k ∈ ℕ tal que k ≥ 1 e a−b = k. Então temos a = b + k e, como k ≥ 1, vem que a ≥ b+1. Logo a > b.
Passo 4
Portanto, mostramos as duas implicações: se a > b então a−b ∈ ℕ⁺, e se a−b ∈ ℕ⁺ então a > b. Assim, a > b se, e somente se, a−b é um número natural positivo.
Resposta
a > b \iff a - b \in \mathbb{N}^+