Com relação ao P.V.I.
e
. Todos os valores de
para os quais a solução torna-se ilimitada são:
Passo 1
O enunciado é o P.V.I.
O objetivo é determinar para quais
a solução
torna-se ilimitada (cresce sem limite). Vamos usar o método da soma da solução geral homogênea e de uma solução particular, e então analisar estabilidade/resonância.
Passo 2
Resolvendo a equação homogênea
temos a equação característica
cujas raízes são
- Se
, é combinação de e (solução limitada). - Se
, contém (faz crescer exponencialmente). - Se
, (pode crescer linearmente).
Passo 3
Para
procuramos particular da forma
Então
e substituindo em
dá
logo
Assim
que é limitada sempre que
.
Passo 4
No caso
a tentativa anterior falha (divisor zero): há \emph{ressonância}. Então tentamos
Calcula-se
e
Logo
que cresce linearmente em
, tornando a solução ilimitada.
Passo 5
Agora, combinando a solução geral
e impondo
:
- Para
, tem termo com (já que ), daí . - Para
, verifica-se que as constantes iniciais anulam o coeficiente de em , resultando em solução limitada. - Para
, e são ambos limitados (seno, cosseno), então fica limitada. - Para
, há termo que cresce sem limite.
Resposta
A solução torna-se ilimitada se, e somente se,