Com relação ao P.V.I. y^prime prime+alpha y=3 cos (2 t), y(0)=0 e y^prime(0)=0. Todos os valores de alpha in R para os quais a solução torna-se ilimitada são:

Passo 1

O enunciado é o P.V.I.
y'' + alpha,y = 3cos(2t), y(0)=0,;y'(0)=0
O objetivo é determinar para quais alphainR a solução y(t) torna-se ilimitada (cresce sem limite). Vamos usar o método da soma da solução geral homogênea e de uma solução particular, e então analisar estabilidade/resonância.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea
y'' + alpha,y = 0
temos a equação característica
r^2 + alpha = 0,
cujas raízes são
r = pm iraizalpha(alpha>0), r = pmraiz-alpha(alpha<0), r=0 (dupla) se alpha=0
  • Se alpha>0, yh é combinação de cos(raizalpha,t) e sin(raizalpha,t) (solução limitada).
  • Se alpha<0, yh contém e^raiz-alpha,t (faz crescer exponencialmente).
  • Se alpha=0, yh=C1 + C2,t (pode crescer linearmente).

Passo 3

Para alphaneq4 procuramos particular da forma
yp = Acos(2t)+Bsin(2t)
Então
yp'' = -4Acos(2t)-4Bsin(2t),
e substituindo em y''+alpha y=3cos2t
(-4A+alpha A)cos2t+(-4B+alpha B)sin2t =3cos2t,
logo
(alpha-4)A=3, (alpha-4)B=0 ;Longrightarrow; A=3alpha-4,; B=0
Assim
yp = 3alpha-4cos(2t),
que é limitada sempre que alphaneq4.

Passo 4

No caso alpha=4 a tentativa anterior falha (divisor zero): há \emph{ressonância}. Então tentamos
yp = C,t,sin(2t)
Calcula-se
yp'' = 4Ccos(2t)-4C,t,sin(2t),
e
yp'' +4yp = 4Ccos(2t) stackrel!= 3cos(2t) ;Longrightarrow; C=34
Logo
yp = 34,t,sin(2t),
que cresce linearmente em t, tornando a solução ilimitada.

Passo 5

Agora, combinando a solução geral y=yh+yp e impondo y(0)=y'(0)=0:
  • Para alpha<0, yh tem termo C1e^raiz-alpha,t com C1neq0 (já que yp(0)neq0), daí y(t)toinfty.
  • Para alpha=0, verifica-se que as constantes iniciais anulam o coeficiente de t em yh, resultando em solução limitada.
  • Para 0<alphaneq4, yh e yp são ambos limitados (seno, cosseno), então y fica limitada.
  • Para alpha=4, há termo tfrac34tsin(2t) que cresce sem limite.

Resposta

A solução torna-se ilimitada se, e somente se,
alpha<0 ou alpha=4

Exercícios relacionados