Verifique de os seguintes operadores lineares são diagonalizáveis e em caso aformativo determine e matriz diagonal correspondente.
(d) T: R^3 R^3 dado por T(x, y, z)=(2 x+y, y-z, 2 y+4 x).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(2x+y,;y-z,;2y+4x)
é diagonalizável (sobre R) e, em caso afirmativo, exibir a matriz diagonal correspondente. Para isso vamos:
  1. escolher a base canônica de R^3,
  2. escrever a matriz de T nessa base,
  3. calcular o polinômio característico e seus autovalores,
  4. examinar as multiplicidades geométrica e algébrica de cada autovalor.

Passo 2

Na base canônica e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1) temos
T(e1)= (2,0,4), T(e2)=(1,1,2), T(e3)=(0,-1,0)
Logo a matriz de T é
A = 2 & 1 & 0 0 & 1 & -1 4 & 2 & 0

Passo 3

O polinômio característico de A é
chiA(lambda)=det(A-lambda I) =det 2-lambda & 1 & 0 0 & 1-lambda & -1 4 & 2 & -lambda
Expandindo pela primeira linha:
chiA(lambda) =(2-lambda)det1-lambda & -12 & -lambda -1cdotdet0 & -14 & -lambda
Calcula-se
det1-lambda & -12 & -lambda =(1-lambda)(-lambda)-(-1)cdot2 =lambda^2-lambda+2,
det0 & -14 & -lambda =0cdot(-lambda)-(-1)cdot4=4
Portanto
chiA(lambda) =(2-lambda)(lambda^2-lambda+2)-4 =-lambda^3+3lambda^2-4lambda =lambdal(lambda^2-3lambda+4r)

Passo 4

As raízes de chiA são
lambda1=0, lambda2,3=3pmraiz9-162 =3pm iraiz72
Somente lambda1=0 é real; os outros dois são complexos não reais.

Passo 5

Para diagonalizar sobre R precisamos de três autovetores reais linearmente independentes. Há apenas um autovalor real ( lambda=0), cujo espaço próprio tem dimensão no máximo 1, logo não podemos obter uma base real de três autovetores.

Resposta

O operador T não é diagonalizável sobre R.

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