Verifique de os seguintes operadores lineares são diagonalizáveis e em caso aformativo determine e matriz diagonal correspondente.
(d)
dado por
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o operador linear
é diagonalizável (sobre
) e, em caso afirmativo, exibir a matriz diagonal correspondente. Para isso vamos:
- escolher a base canônica de
, - escrever a matriz de
nessa base, - calcular o polinômio característico e seus autovalores,
- examinar as multiplicidades geométrica e algébrica de cada autovalor.
Passo 2
Na base canônica
temos
Logo a matriz de
é
Passo 3
O polinômio característico de
A é
Expandindo pela primeira linha:
Calcula-se
Portanto
Passo 4
As raízes de
chiA são
Somente
lambda1=0 é real; os outros dois são complexos não reais.
Passo 5
Para diagonalizar sobre
R precisamos de três autovetores reais linearmente independentes. Há apenas um autovalor real (
lambda=0 ), cujo espaço próprio tem dimensão no máximo 1, logo não podemos obter uma base real de três autovetores.
Resposta
O operador
T não é diagonalizável sobre
R .