(a) Mostre que todo primo maior do que 3 é da forma
ou
.
(b) Mostre que qualquer número da forma
tem um fator primo da mesma forma.
Mostre que existem infinitos primos da forma
.
(d) Mostre que existem infinitos primos da forma
(Utilize os Problemas S-3.37 e S-3.35 (d)).
(b) Mostre que qualquer número da forma
(d) Mostre que existem infinitos primos da forma
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas em teoria dos números:
(a) provar que todo primo satisfaz
ou
;
(b) mostrar que qualquer inteiro da forma tem ao menos um fator primo também da forma
;
(c ) usar (b) para concluir que há infinitos primos da forma
;
(d) usar os Problemas S-3.37 e S-3.35(d) para concluir que há infinitos primos da forma .
(a) provar que todo primo
(b) mostrar que qualquer inteiro da forma
(c
(d) usar os Problemas S-3.37 e S-3.35(d) para concluir que há infinitos primos da forma
Passo 2
Prova de (a): seja
primo. Como
divide
, temos
Mas
não pode ser
(então seria divisível por
e
), nem
ou
(divisível por
), nem
(divisível por
). Resta
isto é,
ou
.
Passo 3
Prova de (b): seja
. Fatore
Se algum
, então
seria par ou múltiplo de
, contradizendo
. Se todos os
fossem congruentes a
, então
novamente contraditório. Logo existe ao menos um
, isto é, da forma
.
Passo 4
Prova de (c
): suponha que existam apenas os primos
com
. Considere
Então
, e pelo passo (b) algum primo divisor
de
satisfaz
. Além disso,
não pode ser nenhum dos
, pois
. Surge, assim, um primo novo da forma
, contradição. Logo há infinitos.
Passo 5
Prova de (d): pelos Problemas S-3.37 e S-3.35(d) conclui-se que todo divisor primo de um número da forma
também é congruente a
. Suponha, por absurdo, que existam apenas os primos
com
. Defina
Então
, e quaisquer fatores primos de
são também
(pelos S-3.37 e S-3.35(d)), e nenhum deles pode ser dos
(pois
). Logo surge um primo novo
, absurdo. Portanto há infinitos primos
.
Resposta
(a) Qualquer primo
satisfaz
.
(b) Todo inteiro tem um fator primo também da forma
.
(c ) A construção
mostra que há infinitos primos
.
(d) Usando S-3.37 e S-3.35(d) com , conclui-se que existem infinitos primos
.
(b) Todo inteiro
(c
(d) Usando S-3.37 e S-3.35(d) com