(a) Mostre que todo primo maior do que 3 é da forma 6 n+1 ou 6 n-1.
(b) Mostre que qualquer número da forma 6 n-1 tem um fator primo da mesma forma.
(c^*) Mostre que existem infinitos primos da forma 6 n-1.
(d) Mostre que existem infinitos primos da forma 6 n+1 (Utilize os Problemas S-3.37 e S-3.35 (d)).

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas em teoria dos números:
(a) provar que todo primo p>3 satisfaz p=6n+1 ou p=6n-1;
(b) mostrar que qualquer inteiro da forma 6n-1 tem ao menos um fator primo também da forma 6m-1;
(c ^*) usar (b) para concluir que há infinitos primos da forma 6n-1;
(d) usar os Problemas S-3.37 e S-3.35(d) para concluir que há infinitos primos da forma 6n+1.

Passo 2

Prova de (a): seja p>3 primo. Como 6 divide (p-1)p(p+1), temos
pequiv0,1,2,3,4 ou 5pmod6
Mas p não pode ser 0pmod6 (então seria divisível por 2 e 3), nem 2 ou 4pmod6 (divisível por 2), nem 3pmod6 (divisível por 3). Resta
pequiv1pmod6ou pequiv5pmod6,
isto é, p=6n+1 ou p=6n-1.

Passo 3

Prova de (b): seja k=6n-1. Fatore
k=prodi=1^r pi^ei
Se algum piin2,3, então k seria par ou múltiplo de 3, contradizendo kequiv5pmod6. Se todos os pi>3 fossem congruentes a 1pmod6, então
kequiv1^requiv1pmod6,
novamente contraditório. Logo existe ao menos um piequiv5pmod6, isto é, da forma 6m-1.

Passo 4

Prova de (c ^*): suponha que existam apenas os primos p1,dots,pr com piequiv5pmod6. Considere
N ;=;6l(p1p2cdots prr);-;1
Então Nequiv5pmod6, e pelo passo (b) algum primo divisor q de N satisfaz qequiv5pmod6. Além disso, q não pode ser nenhum dos pi, pois Nequiv-1pmodpi. Surge, assim, um primo novo da forma 6n-1, contradição. Logo há infinitos.

Passo 5

Prova de (d): pelos Problemas S-3.37 e S-3.35(d) conclui-se que todo divisor primo de um número da forma 6n+1 também é congruente a 1pmod6. Suponha, por absurdo, que existam apenas os primos q1,dots,qs com qjequiv1pmod6. Defina
M ;=;6l(q1q2cdots qsr);+;1
Então Mequiv1pmod6, e quaisquer fatores primos de M são também equiv1pmod6 (pelos S-3.37 e S-3.35(d)), e nenhum deles pode ser dos qj (pois Mequiv1notequiv0pmodqj). Logo surge um primo novo equiv1pmod6, absurdo. Portanto há infinitos primos 6n+1.

Resposta

(a) Qualquer primo >3 satisfaz p=6npm1.
(b) Todo inteiro 6n-1 tem um fator primo também da forma 6m-1.
(c ^*) A construção 6l(prod pir)-1 mostra que há infinitos primos 6n-1.
(d) Usando S-3.37 e S-3.35(d) com 6l(prod qjr)+1, conclui-se que existem infinitos primos 6n+1.

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