S-3.37 Mostre que todo número primo da forma 3 k+1 é da forma 6 n+1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se um primo p satisfaz
p = 3k + 1
para algum inteiro k, então ele também pode ser escrito como
p = 6n + 1
O conteúdo usado será que todo primo maior que 3 é ímpar (logo congruente a 1 módulo 2).

Passo 2

Como p é primo e maior que 3, ele é ímpar. Portanto existe um inteiro q tal que
p = 2q + 1

Passo 3

Por hipótese também temos
p = 3k + 1
Igualando as duas expressões para p,
2q + 1 = 3k + 1
implies 2q = 3k
Isso mostra que 3k é par, logo k deve ser par. Escrevemos k = 2n para algum inteiro n.

Passo 4

Substituindo k = 2n em p = 3k + 1, obtemos
p = 3(2n) + 1 = 6n + 1,
que é exatamente a forma desejada.

Resposta

Todo primo da forma 3k+1 pode ser escrito como 6n+1.

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