(a) Mostre que todo primo maior do que 3 é da forma 4 n+1 ou 4 n+3.
(b) Mostre que qualquer número da forma 4 n+3 tem um fator primo da mesma forma.
(c*) Mostre que existem infinitos primos da forma 4 n+3.
(d) Existem infinitos primos da forma 4 n+1, mas a prova disso é um pouco mais sutil (veja Elementos de Aritmética, Proposição 8.1.4).

Passo 1

O exercício trata de classes de resíduos módulo 4 e usa argumentos de congruências e prova ao estilo de Euclides. Vamos precisar de que todo inteiro cai em uma das classes 0,1,2,3bmod4, que números ímpares são equiv1 ou 3bmod4, e do lema de que se um número equiv3bmod4 tivesse só fatores equiv1bmod4 seu produto seria equiv1bmod4, gerando contradição. No item (c) faremos um argumento ao estilo de Euclides para gerar sempre um novo primo equiv3bmod4.

Passo 2

Para (a), note que todo primo p>2 é ímpar, logo
pequiv1 (bmod 2)
Mas as classes módulo 4 são 0,1,2,3. Como p não pode ser 0 (divisível por 4) nem 2 (divisível por 2), sobra
pequiv1 (bmod 4) ou pequiv3 (bmod 4)

Passo 3

Para (b), seja Nequiv3pmod4 e escrevamos sua fatoração em primos
N = q1q2cdots qr
Se todos os qi fossem equiv1pmod4, então
Nequiv1cdot1cdots1 equiv1pmod4,
contrariando Nequiv3pmod4. Logo pelo menos um fator primo qi satisfaz
qiequiv3pmod4

Passo 4

Para (c*), suponha que existam apenas finitamente muitos primos p1,dots,pkequiv3bmod4. Considere
M = 4,p1p2cdots pk ;-;1
Então Mequiv-1equiv3pmod4. Por (b), M tem um fator primo qequiv3pmod4. Mas q não divide 4,p1cdots pk, logo não pode ser nenhum dos pi. É um novo primo equiv3bmod4, contradição. Logo há infinitos primos 4n+3.

Passo 5

Para (d), afirma-se que existem infinitos primos equiv1pmod4, mas a prova usa técnicas mais avançadas de análise em progressões aritméticas (ver Elementos de Aritmética, Prop. 8.1.4) e fica fora do escopo deste exercício.

Resposta

(a) Todo primo >3 é ímpar, logo equiv1 ou 3pmod4.
(b) Se um número equiv3pmod4 tivesse só fatores equiv1pmod4, ele seria equiv1, absurdo; portanto existe um fator primo equiv3pmod4.
(c*) Supondo finitos, constrói-se M=4(p1cdots pk)-1equiv3pmod4 e obtém-se um novo primo equiv3, absurdo; logo há infinitos.
(d) Há também infinitos primos equiv1pmod4, mas a prova é mais sutil.

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