(a) Mostre que todo primo maior do que 3 é da forma
ou
.
(b) Mostre que qualquer número da forma
tem um fator primo da mesma forma.
(c*) Mostre que existem infinitos primos da forma
.
(d) Existem infinitos primos da forma
, mas a prova disso é um pouco mais sutil (veja Elementos de Aritmética, Proposição 8.1.4).
(b) Mostre que qualquer número da forma
(c*) Mostre que existem infinitos primos da forma
(d) Existem infinitos primos da forma
Passo 1
O exercício trata de classes de resíduos módulo 4 e usa argumentos de congruências e prova ao estilo de Euclides. Vamos precisar de que todo inteiro cai em uma das classes
, que números ímpares são
ou
, e do lema de que se um número
tivesse só fatores
seu produto seria
, gerando contradição. No item (c) faremos um argumento ao estilo de Euclides para gerar sempre um novo primo
.
Passo 2
Para (a), note que todo primo
é ímpar, logo
Mas as classes módulo 4 são
. Como
não pode ser
(divisível por 4) nem
(divisível por 2), sobra
Passo 3
Para (b), seja
e escrevamos sua fatoração em primos
Se todos os
fossem
, então
contrariando
. Logo pelo menos um fator primo
satisfaz
Passo 4
Para (c*), suponha que existam apenas finitamente muitos primos
. Considere
Então
. Por (b),
tem um fator primo
. Mas
não divide
, logo não pode ser nenhum dos
. É um novo primo
, contradição. Logo há infinitos primos
.
Passo 5
Para (d), afirma-se que existem infinitos primos
, mas a prova usa técnicas mais avançadas de análise em progressões aritméticas (ver Elementos de Aritmética, Prop. 8.1.4) e fica fora do escopo deste exercício.
Resposta
(a) Todo primo
é ímpar, logo
ou
.
(b) Se um número tivesse só fatores
, ele seria
, absurdo; portanto existe um fator primo
.
(c*) Supondo finitos, constrói-se e obtém-se um novo primo
, absurdo; logo há infinitos.
(d) Há também infinitos primos , mas a prova é mais sutil.
(b) Se um número
(c*) Supondo finitos, constrói-se
(d) Há também infinitos primos