(a) Mostre que todo primo maior do que 3 é da forma
ou
.
(b) Mostre que qualquer número da forma
tem um fator primo da mesma forma.
(c*) Mostre que existem infinitos primos da forma
.
(b) Mostre que qualquer número da forma
(c*) Mostre que existem infinitos primos da forma
Passo 1
O enunciado trata de investigar as classes de restos módulo 3 dos números primos e usa três ideias principais:
- O Algoritmo da Divisão para escrever um inteiro em forma
com . - O Teorema Fundamental da Aritmética para fatorar um número em primos.
- Um argumento no estilo de Euclides para mostrar infinitude de primos numa dada classe residual.
Passo 2
Vamos provar que todo primo
satisfaz
ou
.
Pelo Algoritmo da Divisão, existe com
Pelo Algoritmo da Divisão, existe
Se
então
, mas o único primo múltiplo de 3 é
em si, e aqui
. Logo
. Sobram
ou
, isto é,
Passo 3
Agora mostramos que se
então algum primo divisor de
também satisfaz essa congruência.
Escreva a fatoração
Escreva a fatoração
Nenhum dos
pode ser
, pois isso daria
e implicaria
, contradizendo
.
Pelo Passo 2, cada é congruente a
ou a
módulo 3. Mas o produto de vários números congruentes a
módulo 3 é
. Como o produto total é
, não dá para todos serem
; ao menos um
deve satisfazer
Pelo Passo 2, cada
conforme queríamos.
Passo 4
Para mostrar que existem infinitos primos com
, suponha, por contradição, que haja apenas uma lista finita deles, digamos
. Considere o número
Note que
Pelo Passo 3, algum primo divisor
de
satisfaz
. Mas
não pode ser nenhum dos
, pois se
então
e assim
também dividiria
o que é impossível. Logo
é um primo novo, mostrando que sempre podemos encontrar um primo adicional com resto
em módulo 3. Concluímos que há infinitos tais primos.
Resposta
(a) Pelo Algoritmo da Divisão qualquer
escreve-se
com
, e
está vetado porque
não é múltiplo de 3; logo
ou
.
(b) Se , na sua fatoração nenhuma parte pode ser 3 e, para dar resto 2 no produto, algum primo deve ser
.
(c*) Supondo finitos tais primos, o número está em
e, por (b), tem um primo divisor novo também
. Portanto há infinitos primos com resto 2 em módulo 3.
(b) Se
(c*) Supondo finitos tais primos, o número