(a) Mostre que todo primo maior do que 3 é da forma 3 n+1 ou 3 n+2.
(b) Mostre que qualquer número da forma 3 n+2 tem um fator primo da mesma forma.
(c*) Mostre que existem infinitos primos da forma 3 n+2.

Passo 1

O enunciado trata de investigar as classes de restos módulo 3 dos números primos e usa três ideias principais:
  1. O Algoritmo da Divisão para escrever um inteiro em forma 3q+r com rin0,1,2.
  2. O Teorema Fundamental da Aritmética para fatorar um número em primos.
  3. Um argumento no estilo de Euclides para mostrar infinitude de primos numa dada classe residual.

Passo 2

Vamos provar que todo primo p>3 satisfaz pequiv1pmod3 ou pequiv2pmod3.
Pelo Algoritmo da Divisão, existe q,r com
p = 3q + r, rin0,1,2
Se r=0 então 3mid p, mas o único primo múltiplo de 3 é 3 em si, e aqui p>3. Logo rne0. Sobram r=1 ou r=2, isto é,
pequiv1pmod3 ou pequiv2pmod3

Passo 3

Agora mostramos que se Nequiv2pmod3 então algum primo divisor de N também satisfaz essa congruência.
Escreva a fatoração
N = p1p2cdots pk
Nenhum dos pi pode ser 3, pois isso daria 3mid N e implicaria Nequiv0pmod3, contradizendo Nequiv2pmod3.
Pelo Passo 2, cada pi é congruente a 1 ou a 2 módulo 3. Mas o produto de vários números congruentes a 1 módulo 3 é equiv1pmod3. Como o produto total é Nequiv2pmod3, não dá para todos serem equiv1; ao menos um pi deve satisfazer
piequiv2pmod3,
conforme queríamos.

Passo 4

Para mostrar que existem infinitos primos com pequiv2pmod3, suponha, por contradição, que haja apenas uma lista finita deles, digamos p1,p2,dots,pr. Considere o número
M = 3l(p1p2cdots prr);-;1
Note que
Mequiv -1equiv2pmod3
Pelo Passo 3, algum primo divisor q de M satisfaz qequiv2pmod3. Mas q não pode ser nenhum dos p1,dots,pr, pois se qmid p1cdots pr então qmidl(3,p1cdots prr) e assim q também dividiria
M - l(3,p1cdots prr) = -1,
o que é impossível. Logo q é um primo novo, mostrando que sempre podemos encontrar um primo adicional com resto 2 em módulo 3. Concluímos que há infinitos tais primos.

Resposta

(a) Pelo Algoritmo da Divisão qualquer p>3 escreve-se p=3q+r com rin0,1,2, e r=0 está vetado porque p não é múltiplo de 3; logo r=1 ou r=2.
(b) Se Nequiv2pmod3, na sua fatoração nenhuma parte pode ser 3 e, para dar resto 2 no produto, algum primo deve ser equiv2pmod3.
(c*) Supondo finitos tais primos, o número M=3(p1p2cdots pr)-1 está em 2pmod3 e, por (b), tem um primo divisor novo também equiv2pmod3. Portanto há infinitos primos com resto 2 em módulo 3.

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