S-3.21 Mostre que todo cubo é diferença de dois quadrados, ou seja, dado
, existem
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro
, existe escolha de inteiros
e
tais que
O truque clássico é usar a fatoração da diferença de quadrados
e depois escolher fatores convenientes de
.
Passo 2
Escrevamos
Para isso, definimos
de modo que
Passo 3
Uma escolha simples de fatores de
é
pois claramente
Resta ver que
e
têm a mesma paridade para garantir que
e
sejam inteiros.
Passo 4
Resolva o sistema
cuja solução é
Substituindo
e
, obtemos
Para verificar que são inteiros, note que se
é par então
e
são pares, e se
é ímpar então
e
são ímpares; em ambos os casos
e
são pares.
Resposta
Uma solução é
pois então