S-3.21 Mostre que todo cubo é diferença de dois quadrados, ou seja, dado a in Z, existem x, y in Z tais que a^3=x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro a, existe escolha de inteiros x e y tais que
a^3 ;=; x^2-y^2
O truque clássico é usar a fatoração da diferença de quadrados
x^2-y^2 ;=; (x-y),(x+y),
e depois escolher fatores convenientes de a^3.

Passo 2

Escrevamos
x^2-y^2 ;=;(x-y),(x+y);=;a^3
Para isso, definimos
x-y = b, x+y = c,
de modo que
b,c = a^3

Passo 3

Uma escolha simples de fatores de a^3 é
b = a, c = a^2,
pois claramente
b,c = acdot a^2 = a^3
Resta ver que b e c têm a mesma paridade para garantir que x e y sejam inteiros.

Passo 4

Resolva o sistema
x - y = b, x + y = c,
cuja solução é
x = b + c2, y = c - b2
Substituindo b=a e c=a^2, obtemos
x = a + a^22, y = a^2 - a2
Para verificar que são inteiros, note que se a é par então a e a^2 são pares, e se a é ímpar então a e a^2 são ímpares; em ambos os casos a+a^2 e a^2-a são pares.

Resposta

Uma solução é
x = a^2+a2, y = a^2-a2,
pois então
x^2-y^2 = (x-y)(x+y) = acdot a^2 = a^3

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