S-3.22* Ache os números n para os quais o número n(n+14) seja um quadrado.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os inteiros n tais que
n(n+14)
seja um quadrado perfeito.
O conteúdo aqui é resolução de uma equação diofantina quadrática, e vamos usar a técnica de completar quadrado e fatorar.

Passo 2

Seja k um inteiro tal que
n(n+14)=k^2
Nosso objetivo é achar todas as soluções inteiras (n,k).

Passo 3

Observe que
n(n+14)=n^2+14n=(n+7)^2-49
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(n+7)^2 - k^2 = 49 Longrightarrow l(n+7 - kr)l(n+7 + kr)=49

Passo 4

Defina
a = n+7 - k, b = n+7 + k,
então ab=49. Como 49=pm1cdot(pm49)=pm7cdot(pm7), os pares (a,b) possíveis (ambos ímpares, garantindo tfraca+b2inZ) são
(1,49),;(7,7),;(-1,-49),;(-7,-7)
Em cada caso,
n+7=a+b2,
o que fornece:
  1. Para (a,b)=(1,49):
    ;n+7=tfrac1+492=25implies n=18
  2. Para (a,b)=(7,7):
    ;n+7=tfrac7+72=7implies n=0
  3. Para (a,b)=(-1,-49):
    ;n+7=tfrac-1+(-49)2=-25implies n=-32
  4. Para (a,b)=(-7,-7):
    ;n+7=tfrac-7+(-7)2=-7implies n=-14

Resposta

Os valores de n que tornam n(n+14) um quadrado perfeito são
nin-32,,-14,,0,,18

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