Mostre que todo subcorpo de C contém Q.

Passo 1

Estamos considerando um subcorpo F de C. O que queremos mostrar é que todo número racional pertence a F. Vamos usar os axiomas de corpo (presença de 0, 1, fechamentos sob soma, produto e inversos) para construir Q dentro de F.

Passo 2

Como F é um corpo, ele contém o elemento neutro multiplicativo 1 e é fechado sob adição. Assim, somando 1 consigo mesmo repetidamente obtemos todos os naturais: para cada ninN,
n=underbrace1+1+cdots+1n vezesin F

Passo 3

Como F também é fechado sob inverso aditivo, para cada ninN temos
-nin F Portanto todos os inteiros estão em F, isto é,
Zsubseteq F

Passo 4

Finalmente, como F é fechado sob inverso multiplicativo, todo inteiro não nulo ninZsetminus0 satisfaz
nin Fimplies n^-1=tfrac1nin F Tomando qualquer racional tfracmn com minZ e ninZsetminus0, vemos que
mn=mcdot1nin F, pois min F e 1/nin F e F é fechado sob produto. Assim todos os racionais estão em F.

Resposta

Qsubseteq F.

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