Estamos considerando um subcorpo de . O que queremos mostrar é que todo número racional pertence a . Vamos usar os axiomas de corpo (presença de , , fechamentos sob soma, produto e inversos) para construir dentro de .
Passo 2
Como é um corpo, ele contém o elemento neutro multiplicativo e é fechado sob adição. Assim, somando consigo mesmo repetidamente obtemos todos os naturais: para cada ,
Passo 3
Como F também é fechado sob inverso aditivo, para cada ninN temos
-nin F Portanto todos os inteiros estão em F, isto é,
Zsubseteq F
Passo 4
Finalmente, como F é fechado sob inverso multiplicativo, todo inteiro não nulo ninZsetminus0 satisfaz
nin Fimplies n^-1=tfrac1nin F Tomando qualquer racional tfracmn com minZ e ninZsetminus0, vemos que
mn=mcdot1nin F, pois min F e 1/nin F e F é fechado sob produto. Assim todos os racionais estão em F.