Sejam
K um corpo e F um subcorpo de K. Mostre que:
A unidade multiplicativa de F coincide com a unidade multiplicativa de K.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um corpo F contido em outro corpo K, a unidade multiplicativa de F, que chamamos de 1 F, coincide com a unidade multiplicativa de K, que chamamos de 1 K. Vamos usar a ideia de elementos idempotentes em corpos.

Passo 2

Como F é subcorpo de K, a multiplicação em F é a mesma que em K quando restrita a F. Em particular, 1 F satisfaz
1 Fcdot 1 F=1 F
ou seja, visto em K, o elemento 1 F é idempotente.

Passo 3

Num corpo K, qualquer elemento e que satisfaça
e^2=e é chamado de idempotente. Mas em um corpo só há duas possibilidades para um idempotente:
e(e-1)=0implies e=0 ou e=1

Passo 4

Como 1 Fneq0 (pela definição de corpo, a unidade não pode ser zero), concluímos que, visto em K,
1 F=1 K

Resposta

A unidade multiplicativa de F coincide com a unidade de K, ou seja, 1 F=1 K.

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