Sejam
um corpo e
um subcorpo de
. Mostre que:
A unidade multiplicativa de
coincide com a unidade multiplicativa de
.
A unidade multiplicativa de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um corpo
contido em outro corpo
, a unidade multiplicativa de
, que chamamos de
, coincide com a unidade multiplicativa de
, que chamamos de
. Vamos usar a ideia de elementos idempotentes em corpos.
Passo 2
Como
é subcorpo de
, a multiplicação em
é a mesma que em
quando restrita a
. Em particular,
satisfaz
ou seja, visto em
, o elemento
é idempotente.
Passo 3
Num corpo
, qualquer elemento
que satisfaça
Passo 4
Como
(pela definição de corpo, a unidade não pode ser zero), concluímos que, visto em
,
Resposta
A unidade multiplicativa de
coincide com a unidade de
, ou seja,
.