Verificar se as aplicações seguintes de mathbbR^3 em mathbbR^3 são transformações lineares :
g(x, y, z)=(z+x, z+2,-z)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação g: R^3 to R^3 dada por g(x,y,z) = (z+x,;z+2,;-z) é uma transformação linear. O conteúdo que vamos usar é a definição de transformação linear, que exige duas propriedades: aditividade e homogeneidade (ou, de forma equivalente, que g(0)=0 e que preserve soma e produto por escalar).

Passo 2

Vamos calcular o valor de g no vetor nulo (0,0,0). Substituindo na fórmula:
g(0,0,0) = (0+0,;0+2,;-0) = (0,2,0)

Passo 3

Como para uma aplicação linear obrigatoriamente tem que ocorrer g(0,0,0) = (0,0,0), mas aqui obtivemos (0,2,0), concluímos que g não satisfaz a condição de transformação linear.
Não é necessário testar a aditividade e homogeneidade completas, pois a falha em enviar o vetor nulo no lugar correto já basta para descartar a linearidade.

Resposta

A aplicação g não é transformação linear, pois g(0,0,0) ≠ (0,0,0).

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