Mostre, tomando limites ao longo de dois caminhos diferentes para a origem ( 0,0 ), que
lim (x, y) (0,0) sen^2 x sen^2 y(x^2+y^2)^2
não existe.

Passo 1

O problema pede para analisar o limite de uma função de duas variáveis e mostrar que ele não existe usando caminhos diferentes. O conteúdo é limite em R², e vamos usar o critério de caminhos: se os limites ao longo de dois caminhos distintos forem diferentes, o limite não existe. Também vamos usar o fato de que limtto0 sin tt = 1.

Passo 2

Definimos a função
f(x,y)=sin^2 x,sin^2 y(x^2+y^2)^2
e tomamos o caminho y=0. Substituindo em f temos
f(x,0)=sin^2 x,sin^2 0(x^2+0)^2=0
Como f(x,0)=0 para todo x próximo de zero, segue que
lim(x,0)to(0,0)f(x,0)=0

Passo 3

Agora tomamos o caminho y=x. Substituindo em f obtemos
f(x,x)=sin^2 x,sin^2 x(x^2+x^2)^2=sin^4 x(2x^2)^2=sin^4 x4x^4

Passo 4

Usando limxto0sin xx=1, temos
limxto0f(x,x)=limxto0sin^4 x4x^4=1^44=tfrac14

Passo 5

Os limites obtidos são diferentes (0 e tfrac14), logo pelo critério de caminhos distintos concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois nos caminhos y=0 e y=x obtemos valores diferentes (0 e tfrac14).

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