Mostre, tomando limites ao longo de dois caminhos diferentes para a origem ( 0,0 ), que
não existe.
Passo 1
O problema pede para analisar o limite de uma função de duas variáveis e mostrar que ele não existe usando caminhos diferentes. O conteúdo é limite em R², e vamos usar o critério de caminhos: se os limites ao longo de dois caminhos distintos forem diferentes, o limite não existe. Também vamos usar o fato de que
.
Passo 2
Definimos a função
e tomamos o caminho
Como
para todo
próximo de zero, segue que
Passo 3
Agora tomamos o caminho
. Substituindo em
obtemos
Passo 4
Usando
, temos
Passo 5
Os limites obtidos são diferentes (0 e
), logo pelo critério de caminhos distintos concluímos que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe, pois nos caminhos
e
obtemos valores diferentes (0 e
).