Verifique se f é contínua e derivável no ponto x0, sendo:
clsen(x^2)raizx^2+x^4, & se x neq 0 0, & se x=0

Passo 1

O enunciado pede pra verificar se a função
f(x)=sin(x^2)raizx^2+x^4,&xneq00,&x=0 é contínua e derivável em x0=0. Vamos usar definição de limite pra continuidade e definição de derivada (quociente incremental).

Passo 2

Primeiro, simplificamos o denominador pra estudar o limite de f(x) quando xto0. Note que
raizx^2+x^4=|x|raiz1+x^2
Logo, para xneq0
f(x)=sin(x^2)|x|raiz1+x^2
Como sin(x^2)sim x^2 quando xto0, temos
f(x)simx^2|x|=|x|to0
Como f(0)=0, o limite coincide com o valor em 0 e, portanto, f é contínua em 0.

Passo 3

Agora vamos ver a derivabilidade em 0 usando
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x=limxto0f(x)x
Para x>0 temos
f(x)x=sin(x^2)xraiz1+x^2cdot1x=sin(x^2)x^2raiz1+x^2to1(xto0^+),
e para x<0
f(x)x=-sin(x^2)x^2raiz1+x^2to-1(xto0^-)

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes ( +1 à direita e -1 à esquerda), o limite do quociente incremental não existe. Logo, f não é derivável em 0.

Resposta

A função é contínua em x0=0, mas não é derivável nesse ponto.

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